Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 142
2014-06-07 
Для любых значений $n \in \mathbf{N}$ и $a \in \mathbf{R}$ решить систему
$\begin{cases}
x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} = a,&\text{}\\
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} = a^{2},&\text{}\\
\cdots .&\text{}\\
x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + \cdots + x_{n}^{n} = a^{n}.&\text{}
\end{cases}
$
Решение:
Заметим, что для любого номера $i \in {1; \cdots ; n}$ набор неизвестных
$x_{i} = a, x_{1} = \cdots = x_{i-1} = x_{i+1} =\cdots = x_{n} = 0$
удовлетворяет исходной системе. Докажем, что других решений эта система не имеет.
1) При $n = 1$ получаем единственное условие $x_{1} = a$.
2) При $n = 2$ имеем систему
$\begin{cases}
x_{1} + x_{2} = a,&\text{}\\
x^{2}_{1} + x^{2}_{2} = a^{2}.&\text{}
\end{cases}
$
из которой получаем условие
$(x_{1} + x_{2})^{2} - (x^{2}_{1} + x^{2}_{2}) = 2x_{2}x_{2} = 0$.
Поэтому либо $x_{1} = a, x_{2} = 0$, либо $x_{1} = 0, x_{2} = a$.
3) Пусть $n \geq 3$, тогда для любого решения системы имеем по меньшей мере два условия:
$\begin{cases}
x^{2}_{1} + \cdots + x^{2}_{n} = a^{2},&\text{}\\
x^{3}_{1} + \cdots + x^{3}_{n} = a^{3}&\text{}\\
\end{cases}
$
Если $a = 0$, то из первого условия получаем $x_{1} = \cdots = x_{n} = 0$. Если же $a \neq 0$, то $(x_{1}/a)^{2}+ \cdots +(x_{n}/a)^{2} = l$, поэтому для всех $i =1, \cdots, n$ имеем $|x_{i}/a| \leq 1$, а значит, $(x_{i}/a)^{3} \leq (x_{i}/a)^{2}$. Далее,
$1 = \sum^{n}_{i=1}(x_{i}/a)^{3} \leq \sum_{i=1} (x_{i}/a)^{2} = 1$
следовательно, при всех значениях $i$ справедливы равенства
$\left ( \frac{x_{i}}{a} \right )^{2} \left ( \frac{x_{i}}{a} -1 \right ) = 0$,
т.е. либо $x_{i} = 0$, либо $x_{i} = a$. С другой стороны, если для некоторого номера $i \in {1; \cdots ;n}$ оказалось, что $x_{i} = a$, то в силу системы все остальные переменные $x_{1}, \cdots , x_{i-1}, x_{i+1}, \cdots , x_{n}$ равны нулю, и наоборот. Таким образом, во всех трех случаях описанные выше наборы и только они удовлетворяют системе. (Попутно доказано, что при $n \geq 3$ из второго и третьего уравнений исходной системы вытекают все остальные ее уравнения.)
Для любых значений $n \in \mathbf{N}$ и $a \in \mathbf{R}$ решить систему
$\begin{cases}
x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} = a,&\text{}\\
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} = a^{2},&\text{}\\
\cdots .&\text{}\\
x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + \cdots + x_{n}^{n} = a^{n}.&\text{}
\end{cases}
$
Решение:
Заметим, что для любого номера $i \in {1; \cdots ; n}$ набор неизвестных
$x_{i} = a, x_{1} = \cdots = x_{i-1} = x_{i+1} =\cdots = x_{n} = 0$
удовлетворяет исходной системе. Докажем, что других решений эта система не имеет.
1) При $n = 1$ получаем единственное условие $x_{1} = a$.
2) При $n = 2$ имеем систему
$\begin{cases}
x_{1} + x_{2} = a,&\text{}\\
x^{2}_{1} + x^{2}_{2} = a^{2}.&\text{}
\end{cases}
$
из которой получаем условие
$(x_{1} + x_{2})^{2} - (x^{2}_{1} + x^{2}_{2}) = 2x_{2}x_{2} = 0$.
Поэтому либо $x_{1} = a, x_{2} = 0$, либо $x_{1} = 0, x_{2} = a$.
3) Пусть $n \geq 3$, тогда для любого решения системы имеем по меньшей мере два условия:
$\begin{cases}
x^{2}_{1} + \cdots + x^{2}_{n} = a^{2},&\text{}\\
x^{3}_{1} + \cdots + x^{3}_{n} = a^{3}&\text{}\\
\end{cases}
$
Если $a = 0$, то из первого условия получаем $x_{1} = \cdots = x_{n} = 0$. Если же $a \neq 0$, то $(x_{1}/a)^{2}+ \cdots +(x_{n}/a)^{2} = l$, поэтому для всех $i =1, \cdots, n$ имеем $|x_{i}/a| \leq 1$, а значит, $(x_{i}/a)^{3} \leq (x_{i}/a)^{2}$. Далее,
$1 = \sum^{n}_{i=1}(x_{i}/a)^{3} \leq \sum_{i=1} (x_{i}/a)^{2} = 1$
следовательно, при всех значениях $i$ справедливы равенства
$\left ( \frac{x_{i}}{a} \right )^{2} \left ( \frac{x_{i}}{a} -1 \right ) = 0$,
т.е. либо $x_{i} = 0$, либо $x_{i} = a$. С другой стороны, если для некоторого номера $i \in {1; \cdots ;n}$ оказалось, что $x_{i} = a$, то в силу системы все остальные переменные $x_{1}, \cdots , x_{i-1}, x_{i+1}, \cdots , x_{n}$ равны нулю, и наоборот. Таким образом, во всех трех случаях описанные выше наборы и только они удовлетворяют системе. (Попутно доказано, что при $n \geq 3$ из второго и третьего уравнений исходной системы вытекают все остальные ее уравнения.)
