Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1418
2018-12-13 
Известно, что каждое из уравнений $x^{2} + 2bx + x = 0$ и $x^{2} + 2cx + b = 0$, где $b > 0$ и $c > 0$, имеет хотя бы один корень. Произведение всех корней этих уравнений равно 1. Найдите $b$ и $c$.
Решение:
Так как каждое уравнение имеет хотя бы один корень, то $D/4 = b^{2} - c \geq 0 \Leftrightarrow b^{2} \geq c$ и $c^{2} - b \geq 0 \Leftrightarrow c^{2} \geq b$. Кроме того, по теореме Виета, произведение корней первого уравнения равно $c$, а произведение корней второго уравнения равно $b$. Из условия следует, что $bc = 1$. Подставим $b = \frac{1}{c}$ в каждое из полученных неравенств. Учитывая, что $b > 0$ и $c > 0$, получим, что $c \leq 1$ и $c \geq 1$ соответственно, то есть, $c = 1$, значит, и $b = 1$.
Отметим, что при найденных значениях $b$ и $c$ каждое из данных уравнений имеет вид $x^{2} + 2x + 1 = 0$, то есть, имеет один корень (с точки зрения применения теоремы Виета - два совпадающих корня).
Ответ: $b = c = 1$.
Известно, что каждое из уравнений $x^{2} + 2bx + x = 0$ и $x^{2} + 2cx + b = 0$, где $b > 0$ и $c > 0$, имеет хотя бы один корень. Произведение всех корней этих уравнений равно 1. Найдите $b$ и $c$.
Решение:
Так как каждое уравнение имеет хотя бы один корень, то $D/4 = b^{2} - c \geq 0 \Leftrightarrow b^{2} \geq c$ и $c^{2} - b \geq 0 \Leftrightarrow c^{2} \geq b$. Кроме того, по теореме Виета, произведение корней первого уравнения равно $c$, а произведение корней второго уравнения равно $b$. Из условия следует, что $bc = 1$. Подставим $b = \frac{1}{c}$ в каждое из полученных неравенств. Учитывая, что $b > 0$ и $c > 0$, получим, что $c \leq 1$ и $c \geq 1$ соответственно, то есть, $c = 1$, значит, и $b = 1$.
Отметим, что при найденных значениях $b$ и $c$ каждое из данных уравнений имеет вид $x^{2} + 2x + 1 = 0$, то есть, имеет один корень (с точки зрения применения теоремы Виета - два совпадающих корня).
Ответ: $b = c = 1$.
