Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1417
2018-12-13 
В выпуклом четырехугольнике $ABCD: \angle ABD = \angle CDB = 60^{ \circ}, \angle BCA = \angle CAD = 30^{ \circ}$. Найдите $BD$, если $AB = 2 см$.
Решение:
Из условия следует, что ABCD - параллелограмм. Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой BD, при которой образом точки А является точка $A^{ \prime}$. Тогда $BA^{ \prime} = BA; DA^{ \prime} = DA; \angle A^{ \prime }BD = \angle ABD = 60^{ \circ}; \angle BA^{ \prime}A = \angle BAA^{ \prime} = 30^{ \circ}$, Так как $\angle ABD$ - острый, то отрезок $AA^{ \prime}$ пересекает луч BD.
Возможны два случая:
1) Точка $A^{ \prime}$ совпала с точкой С (см. рис. а). Тогда, ABCD - ромб с острым углом $60^{ \circ}$, значит, BD = АВ = 2 (см).
2) Точка $A^{ \prime}$ не совпала с точкой С (см. рис. б). В этом случае рассмотрим окружность, описанную около треугольника АВС. Точка $A^{ \prime}$ лежит на этой окружности, так как $\angle BA^{ \prime}A = \angle BCA$, а точка D - поскольку BD и $A^{ \prime}C$ - основания равнобокой трапеции. Следовательно, $\angle BDA = \angle BCA = 30^{ \circ}$, поэтому, ABCD - прямоугольник. Из прямоугольного треугольника ABD, в котором $\angle BDA = 30^{ \circ}$, находим, что BD = 2АВ = 4 (см).
Можно предложить другой способ решения, использующий теорему синусов.
Пусть О - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD и $\angle ADB = \alpha$ (см. рис. в). Тогда $\angle AOB = 30^{ \circ} + \alpha; \angle BAC = 90^{ \circ} - \alpha$. Из $\Delta AOD: \frac{AO}{ \sin \alpha} = \frac{DO}{ \sin 30^{ \circ} }$; из $\Delta AOB: \frac{AO}{ \sin 60^{ \circ}} = \frac{BO}{ \sin (90^{ \circ} - \alpha ) }$. Разделим первое равенство на второе, учитывая, что $BO = DO$ и $\sin(90^{ \circ} - \alpha) = \cos \alpha$. Получим, что $\frac{ \sin 60^{ \circ} }{ \sin \alpha} = \frac{ \cos \alpha}{ \sin 30^{ \circ} }$, то есть, $\sin 2 \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}$. Следовательно, $2 \alpha = 60^{ \circ}$ или $2 \alpha = 120^{ \circ} \Leftrightarrow \alpha = 30^{ \circ}$ или $\alpha = 60^{ \circ}$. Таким образом, мы получили оба случая, рассмотренных в основном решении.
Аналогичные соотношения можно получить, если использовать равно великость треугольников AOD и АОВ, дважды вычислив их площади по формуле $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$.
Ответ: 2 см или 4 см.
В выпуклом четырехугольнике $ABCD: \angle ABD = \angle CDB = 60^{ \circ}, \angle BCA = \angle CAD = 30^{ \circ}$. Найдите $BD$, если $AB = 2 см$.
Решение:
Из условия следует, что ABCD - параллелограмм. Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой BD, при которой образом точки А является точка $A^{ \prime}$. Тогда $BA^{ \prime} = BA; DA^{ \prime} = DA; \angle A^{ \prime }BD = \angle ABD = 60^{ \circ}; \angle BA^{ \prime}A = \angle BAA^{ \prime} = 30^{ \circ}$, Так как $\angle ABD$ - острый, то отрезок $AA^{ \prime}$ пересекает луч BD.
Возможны два случая:
1) Точка $A^{ \prime}$ совпала с точкой С (см. рис. а). Тогда, ABCD - ромб с острым углом $60^{ \circ}$, значит, BD = АВ = 2 (см).
2) Точка $A^{ \prime}$ не совпала с точкой С (см. рис. б). В этом случае рассмотрим окружность, описанную около треугольника АВС. Точка $A^{ \prime}$ лежит на этой окружности, так как $\angle BA^{ \prime}A = \angle BCA$, а точка D - поскольку BD и $A^{ \prime}C$ - основания равнобокой трапеции. Следовательно, $\angle BDA = \angle BCA = 30^{ \circ}$, поэтому, ABCD - прямоугольник. Из прямоугольного треугольника ABD, в котором $\angle BDA = 30^{ \circ}$, находим, что BD = 2АВ = 4 (см).
Можно предложить другой способ решения, использующий теорему синусов.
Пусть О - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD и $\angle ADB = \alpha$ (см. рис. в). Тогда $\angle AOB = 30^{ \circ} + \alpha; \angle BAC = 90^{ \circ} - \alpha$. Из $\Delta AOD: \frac{AO}{ \sin \alpha} = \frac{DO}{ \sin 30^{ \circ} }$; из $\Delta AOB: \frac{AO}{ \sin 60^{ \circ}} = \frac{BO}{ \sin (90^{ \circ} - \alpha ) }$. Разделим первое равенство на второе, учитывая, что $BO = DO$ и $\sin(90^{ \circ} - \alpha) = \cos \alpha$. Получим, что $\frac{ \sin 60^{ \circ} }{ \sin \alpha} = \frac{ \cos \alpha}{ \sin 30^{ \circ} }$, то есть, $\sin 2 \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}$. Следовательно, $2 \alpha = 60^{ \circ}$ или $2 \alpha = 120^{ \circ} \Leftrightarrow \alpha = 30^{ \circ}$ или $\alpha = 60^{ \circ}$. Таким образом, мы получили оба случая, рассмотренных в основном решении.
Аналогичные соотношения можно получить, если использовать равно великость треугольников AOD и АОВ, дважды вычислив их площади по формуле $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$.
Ответ: 2 см или 4 см.
