Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1416
2018-12-13 
Найдите, какие значения может принимать сумма $\frac{1}{x^{2} + 1 } + \frac{1}{y^{2} + 1 } + \frac{2}{xy + 1}$, если известно, что $\frac{1}{x^{2} + 1 } + \frac{1}{y^{2} + 1 } = \frac{2}{xy + 1}$ и $x \neq y$.
Решение:
Ответ: 2.
$\frac{1}{x^{2} + 1 } + \frac{1}{y^{2} + 1 } = \frac{2}{xy + 1} \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2} + 1 } - \frac{1}{xy + 1} = \frac{1}{xy + 1} - \frac{1}{y^{2} + 1 } \Leftrightarrow \frac{xy -z^{2} }{(z^{2} + 1 )(xy + 1)} = \frac{y^{2} -xy }{(y^{2} + 1 )(xy + 1) }$. Так как $x \neq y$, то из полученного равенства следует, что $\frac{x}{x^{2} + 1 } = \frac{y}{y^{2} + 1 } \Leftrightarrow xy^{2} + x = x^{2}y + y \Leftrightarrow (x - y)(1 - xy) = 0$. Учитывал условие $x \neq y$, получим, что $xy = 1$. Тогда $\frac{1}{z^{2} + 1 } + \frac{1}{y^{2} + 1 } + \frac{2}{xy + 1} = 2 \frac{2}{xy + 1} = 2$.
Найдите, какие значения может принимать сумма $\frac{1}{x^{2} + 1 } + \frac{1}{y^{2} + 1 } + \frac{2}{xy + 1}$, если известно, что $\frac{1}{x^{2} + 1 } + \frac{1}{y^{2} + 1 } = \frac{2}{xy + 1}$ и $x \neq y$.
Решение:
Ответ: 2.
$\frac{1}{x^{2} + 1 } + \frac{1}{y^{2} + 1 } = \frac{2}{xy + 1} \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2} + 1 } - \frac{1}{xy + 1} = \frac{1}{xy + 1} - \frac{1}{y^{2} + 1 } \Leftrightarrow \frac{xy -z^{2} }{(z^{2} + 1 )(xy + 1)} = \frac{y^{2} -xy }{(y^{2} + 1 )(xy + 1) }$. Так как $x \neq y$, то из полученного равенства следует, что $\frac{x}{x^{2} + 1 } = \frac{y}{y^{2} + 1 } \Leftrightarrow xy^{2} + x = x^{2}y + y \Leftrightarrow (x - y)(1 - xy) = 0$. Учитывал условие $x \neq y$, получим, что $xy = 1$. Тогда $\frac{1}{z^{2} + 1 } + \frac{1}{y^{2} + 1 } + \frac{2}{xy + 1} = 2 \frac{2}{xy + 1} = 2$.
