Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1415
2018-12-13 
Даны треугольник $ABC$ и точки $D$ и $E$ такие, что $\angle ADB = \angle BEC = 90^{ \circ}$. Докажите, что длина отрезка $DE$ не превосходит половины периметра треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть М и К - середины сторон АВ и ВС данного треугольника АВС соответственно (см. рис. а). Тогда DM - медиана прямоугольного треугольника ADB, проведенная к гипотенузе, то есть, DM = 0,5АВ. Аналогично, так как ЕК - медиана треугольника ВЕС, то ЕК = 0,5ВС. МК - средняя линия треугольника АВС, значит, МК = 0,5АС. Так как длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы, то $DE \leq DM + MK + KE = 0,5(AB + AC + BC) = 0,5P_{ABC}$, что и требовалось доказать.
Те же идеи можно реализовать и по-другому.
Пусть $R$ и $r$ - радиусы окружностей, построенных на сторонах АВ и ВС данного треугольника, как на диаметрах, a $d$ - длина средней линии МК (см. рис. б). Тогда полупериметр треугольника АВС равен: $p = \frac{AB + BC + CA}{2} = R + r + d$.
Рассмотрим еще одну окружность с центром на прямой МК, которая касается обеих уже построенных окружностей. Из условия следует, что точки D и Е лежат на окружностях с центрами М и X соответственно, поэтому, расстояние DE будет наибольшим, если эти точки являются точками попарного касания окружностей. В этом случае, DE - диаметр большой окружности, причем, $DE = R + r + d$.
Даны треугольник $ABC$ и точки $D$ и $E$ такие, что $\angle ADB = \angle BEC = 90^{ \circ}$. Докажите, что длина отрезка $DE$ не превосходит половины периметра треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть М и К - середины сторон АВ и ВС данного треугольника АВС соответственно (см. рис. а). Тогда DM - медиана прямоугольного треугольника ADB, проведенная к гипотенузе, то есть, DM = 0,5АВ. Аналогично, так как ЕК - медиана треугольника ВЕС, то ЕК = 0,5ВС. МК - средняя линия треугольника АВС, значит, МК = 0,5АС. Так как длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы, то $DE \leq DM + MK + KE = 0,5(AB + AC + BC) = 0,5P_{ABC}$, что и требовалось доказать.
Те же идеи можно реализовать и по-другому.
Пусть $R$ и $r$ - радиусы окружностей, построенных на сторонах АВ и ВС данного треугольника, как на диаметрах, a $d$ - длина средней линии МК (см. рис. б). Тогда полупериметр треугольника АВС равен: $p = \frac{AB + BC + CA}{2} = R + r + d$.
Рассмотрим еще одну окружность с центром на прямой МК, которая касается обеих уже построенных окружностей. Из условия следует, что точки D и Е лежат на окружностях с центрами М и X соответственно, поэтому, расстояние DE будет наибольшим, если эти точки являются точками попарного касания окружностей. В этом случае, DE - диаметр большой окружности, причем, $DE = R + r + d$.
