Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1411
2018-12-13 
Дан квадратный трёхчлен $ax^{2} + bx + c$, все коэффициенты которого отличны от нуля. Ваня и Петя должны найти количество его корней. Ваня случайно поменял местами коэффициенты $a$ и $b$ и получил, что трехчлен имеет один корень. Петя вместо этого поменял местами $b$ и $c$ и также получил, что корень - один. Сколько корней у трёхчлена на самом деле?
Решение:
Так как трехчлен $bx^{2} + ax + c$ имеет один корень, то $a^{2} - 4bc = 0 \Leftrightarrow a^{2} = 4bc$. Аналогично, так как трехчлен $ax^{2} + cx + b$ также имеет один корень, то $c^{2} - 4ab = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 4ab$. Перемножив полученные равенства и разделив обе части на $ac$, получим, что $ac = 16b^{2}$. Дискриминант данного трехчлена: $D = b^{2} - 4ac = b^{2} - 64b^{2} = -63b^{2} < 0$ при $b \neq 0$. Следовательно, данный трехчлен корней не имеет.
Можно доказать, что любой трехчлен, удовлетворяющий условию задачи, имеют вид: $4kx^{2} + kx + 4k$, где $k \neq 0$.
Ответ: 0.
Дан квадратный трёхчлен $ax^{2} + bx + c$, все коэффициенты которого отличны от нуля. Ваня и Петя должны найти количество его корней. Ваня случайно поменял местами коэффициенты $a$ и $b$ и получил, что трехчлен имеет один корень. Петя вместо этого поменял местами $b$ и $c$ и также получил, что корень - один. Сколько корней у трёхчлена на самом деле?
Решение:
Так как трехчлен $bx^{2} + ax + c$ имеет один корень, то $a^{2} - 4bc = 0 \Leftrightarrow a^{2} = 4bc$. Аналогично, так как трехчлен $ax^{2} + cx + b$ также имеет один корень, то $c^{2} - 4ab = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 4ab$. Перемножив полученные равенства и разделив обе части на $ac$, получим, что $ac = 16b^{2}$. Дискриминант данного трехчлена: $D = b^{2} - 4ac = b^{2} - 64b^{2} = -63b^{2} < 0$ при $b \neq 0$. Следовательно, данный трехчлен корней не имеет.
Можно доказать, что любой трехчлен, удовлетворяющий условию задачи, имеют вид: $4kx^{2} + kx + 4k$, где $k \neq 0$.
Ответ: 0.
