Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 141
2014-06-07 
Решить систему
$\begin{cases}
2x + x^{2}y = y,&\text{}\\
2y + y^{2}z = z,&\text{}\\
2z + z^{2}x = x.&\text{}
\end{cases}
$
Решение:
6.16. Пусть набор $(x; y; z)$ удовлетворяет исходной системе. Если обозначить $x = tg \: a$, где $a \in (- \pi / 2; \pi /2)$, то из первого уравнения системы получаем
$y = 2x/ (1 - x^{2}) = tg \: 2a$,
из второго -
$z = tg \: 4a$,
а из третьего -
$x=tg \: 8a$.
Отсюда
$tg \: a = tg 8a$, т.е. $7a = \pi k (k \in \mathbf{Z})$.
Следовательно, $a = \pi k /7$. При этом
$x = tg \: (\pi k / 7), y = tg \: tg \: (2 \pi k/7), z = tg \: (4 \pi k/7)$.
Проверка показывает, что при $k \in { - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3}$ полученные 7 наборов чисел $x, y, z$ различны и действительно удовлетворяют исходной системе.
Решить систему
$\begin{cases}
2x + x^{2}y = y,&\text{}\\
2y + y^{2}z = z,&\text{}\\
2z + z^{2}x = x.&\text{}
\end{cases}
$
Решение:
6.16. Пусть набор $(x; y; z)$ удовлетворяет исходной системе. Если обозначить $x = tg \: a$, где $a \in (- \pi / 2; \pi /2)$, то из первого уравнения системы получаем
$y = 2x/ (1 - x^{2}) = tg \: 2a$,
из второго -
$z = tg \: 4a$,
а из третьего -
$x=tg \: 8a$.
Отсюда
$tg \: a = tg 8a$, т.е. $7a = \pi k (k \in \mathbf{Z})$.
Следовательно, $a = \pi k /7$. При этом
$x = tg \: (\pi k / 7), y = tg \: tg \: (2 \pi k/7), z = tg \: (4 \pi k/7)$.
Проверка показывает, что при $k \in { - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3}$ полученные 7 наборов чисел $x, y, z$ различны и действительно удовлетворяют исходной системе.
