Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1409
2018-12-13 
Сколько различных значений можно получить, расставляя всеми возможными способами скобки в выражении 2 : 3 : 5 : 7 : 11 : 13 : 17 : 19 : 23 : 29?
Решение:
При любой расстановке скобок данное выражение можно представить в виде дроби. Тогда, так как все данные числа - простые, результат вычислений будет однозначно определяется тем, куда «попало» каждое из этих чисел: в числитель или в знаменатель. Очевидно, что независимо от расстановки скобок, число 2 попадает в числитель, а число 3 - в знаменатель. Каждое из следующих чисел может «попасть» как в числитель, так и в знаменатель, например, при такой расстановке скобок 2 : (3 : 5) $\cdots$ число 5 окажется в числителе дроби, а если скобки поставить так (2 : 3) : 5 $\cdots$ - в знаменателе.
Докажем, что существуют расстановки скобок, при которых каждое из чисел 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 «попадает» как в числитель, так и в знаменатель, независимо от расположения остальных чисел. Для этого, например, разобьем все данные числа, начиная с числа 3, на группы следующим образом: каждая группа начинается с числа, которое должно «попасть» в знаменатель, и может содержать еще несколько (в том числе, и ноль) чисел, идущих следом за ним, которые все должны «попасть» в числитель. Эти группы заключаем в скобки и больше нигде скобок не ставим. Тогда первое число каждой группы попадет в знаменатель, так как на него непосредственно делится двойка, а остальные числа группы «попадут» в числитель, так как на них делится первое число из этой группы, «попавшее» в знаменатель.
Таким образом, количество чисел, которые могут являться значением данного выражения при всех возможных расстановках скобок, равно $2^{8} = 256$.
Эту задачу можно обобщить для любого количества чисел, причем они не обязательно должны быть простыми. Расставляя всеми возможными способами скобки в выражении $a_{1} : a_{2} : \cdots : a_{n}$, где каждые два числа взаимно просты, можно получить $2^{n - 2}$ различных значения.
Ответ: 256.
Сколько различных значений можно получить, расставляя всеми возможными способами скобки в выражении 2 : 3 : 5 : 7 : 11 : 13 : 17 : 19 : 23 : 29?
Решение:
При любой расстановке скобок данное выражение можно представить в виде дроби. Тогда, так как все данные числа - простые, результат вычислений будет однозначно определяется тем, куда «попало» каждое из этих чисел: в числитель или в знаменатель. Очевидно, что независимо от расстановки скобок, число 2 попадает в числитель, а число 3 - в знаменатель. Каждое из следующих чисел может «попасть» как в числитель, так и в знаменатель, например, при такой расстановке скобок 2 : (3 : 5) $\cdots$ число 5 окажется в числителе дроби, а если скобки поставить так (2 : 3) : 5 $\cdots$ - в знаменателе.
Докажем, что существуют расстановки скобок, при которых каждое из чисел 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 «попадает» как в числитель, так и в знаменатель, независимо от расположения остальных чисел. Для этого, например, разобьем все данные числа, начиная с числа 3, на группы следующим образом: каждая группа начинается с числа, которое должно «попасть» в знаменатель, и может содержать еще несколько (в том числе, и ноль) чисел, идущих следом за ним, которые все должны «попасть» в числитель. Эти группы заключаем в скобки и больше нигде скобок не ставим. Тогда первое число каждой группы попадет в знаменатель, так как на него непосредственно делится двойка, а остальные числа группы «попадут» в числитель, так как на них делится первое число из этой группы, «попавшее» в знаменатель.
Таким образом, количество чисел, которые могут являться значением данного выражения при всех возможных расстановках скобок, равно $2^{8} = 256$.
Эту задачу можно обобщить для любого количества чисел, причем они не обязательно должны быть простыми. Расставляя всеми возможными способами скобки в выражении $a_{1} : a_{2} : \cdots : a_{n}$, где каждые два числа взаимно просты, можно получить $2^{n - 2}$ различных значения.
Ответ: 256.
