Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1407
2018-12-13 
Найдите все наборы, состоящие из 11 чисел, если известно, что каждое из этих чисел равно квадрату суммы остальных десяти чисел.
Решение:
Так как каждое из чисел $x_{0}, x_{1}, \cdots , x_{10}$ является квадратом, то все числа в наборе неотрицательны и поэтому их сумма также неотрицательна. Далее возможны различные способы рассуждений.
Первый способ. Пусть $x$ - любое из чисел искомого набора, a $s$ - сумма всех чисел этого набора. Тогда, по условию, $x$ - корень уравнения $x = (s - x)^{2}$, которое, в данном случае (так как $x \geq 0$ и $s \geq x$), равносильно уравнению $\sqrt{x} = s - x$. При $x \geq 0$ левая часть полученного уравнения возрастает, а правая - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Это означает, что искомый набор состоит из одинаковых чисел. Решив уравнение $x = (10x)^{2}$, получим, что $x = 0$ или $x = 0,01$. Доказать, что уравнение $x = (s - x)^{2}$ при $x \geq 0$ и $s \geq x$ имеет не более одного корня можно и по-другому: уравнение $x = (s - x)^{2}$ равносильно квадратному уравнению $x^{2} - (2s + 1)x + s^{2} = 0$, один из корней которого $x_{1} = \frac{2s + 1 + \sqrt{4s + 1} }{2}$ - посторонний, так как $x_{1} > s$. Следовательно, при указанных условиях уравнение $x = (s - x)^{2}$ не может иметь более одного корня.
Второй способ. Из условия следует, что $\sqrt{x_{0} } = x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10}$ и $\sqrt{x_{1} } = x_{0} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10}$. Вычтем из одного из этих равенств другое: $\sqrt{x_{0}} - \sqrt{x_{1}} = x_{1} - x_{0} \Leftrightarrow x_{0} + \sqrt{x_{0}} = x_{1} + \sqrt{x_{1}}$. Так как функции $y = x$ и $y = \sqrt{x}$ - возрастающие, то возрастающей является и функция $y = x + \sqrt{x}$, значит, каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, равенство $x_{0} + \sqrt{x_{0} } = x_{1} + \sqrt{x_{1}}$ выполняется тогда и только тогда, когда $x_{0} = x_{1}$. Аналогичными рассуждениями доказывается, что $x_{1} = x_{2}$, и так далее, то есть, все числа искомого набора между собой равны. Таким образом, мы получим уже решенное уравнение $x = (10x)^{2}$.
Третий способ. «Упорядочим» числа в наборе: пусть, $x_{10} \geq x_{9} \geq \cdots \geq x_{1} \geq x_{0}$. По условию, $x_{0} = (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10})^{2}$ и $x_{1} = (x_{0} + x_{2} + \cdots x_{9} + x_{10})^{2}$, поэтому, $(x_{0} + x_{2} + \cdots x_{9} + x_{10})^{2} \geq (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10})^{2} \Rightarrow x_{0} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10} \geq x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10} \Leftrightarrow x_{0} \geq x_{1}$. Таким образом, $x_{0} = x_{1}$. Рассуждая аналогично, получим, что искомый набор состоит из одинаковых чисел, то есть, вновь приходим к уравнению $x = (10x)^{2}$.
Ответ: $(0; 0; \cdots ; 0); (0,01; 0,01; \cdots ; 0,01)$.
Найдите все наборы, состоящие из 11 чисел, если известно, что каждое из этих чисел равно квадрату суммы остальных десяти чисел.
Решение:
Так как каждое из чисел $x_{0}, x_{1}, \cdots , x_{10}$ является квадратом, то все числа в наборе неотрицательны и поэтому их сумма также неотрицательна. Далее возможны различные способы рассуждений.
Первый способ. Пусть $x$ - любое из чисел искомого набора, a $s$ - сумма всех чисел этого набора. Тогда, по условию, $x$ - корень уравнения $x = (s - x)^{2}$, которое, в данном случае (так как $x \geq 0$ и $s \geq x$), равносильно уравнению $\sqrt{x} = s - x$. При $x \geq 0$ левая часть полученного уравнения возрастает, а правая - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Это означает, что искомый набор состоит из одинаковых чисел. Решив уравнение $x = (10x)^{2}$, получим, что $x = 0$ или $x = 0,01$. Доказать, что уравнение $x = (s - x)^{2}$ при $x \geq 0$ и $s \geq x$ имеет не более одного корня можно и по-другому: уравнение $x = (s - x)^{2}$ равносильно квадратному уравнению $x^{2} - (2s + 1)x + s^{2} = 0$, один из корней которого $x_{1} = \frac{2s + 1 + \sqrt{4s + 1} }{2}$ - посторонний, так как $x_{1} > s$. Следовательно, при указанных условиях уравнение $x = (s - x)^{2}$ не может иметь более одного корня.
Второй способ. Из условия следует, что $\sqrt{x_{0} } = x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10}$ и $\sqrt{x_{1} } = x_{0} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10}$. Вычтем из одного из этих равенств другое: $\sqrt{x_{0}} - \sqrt{x_{1}} = x_{1} - x_{0} \Leftrightarrow x_{0} + \sqrt{x_{0}} = x_{1} + \sqrt{x_{1}}$. Так как функции $y = x$ и $y = \sqrt{x}$ - возрастающие, то возрастающей является и функция $y = x + \sqrt{x}$, значит, каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, равенство $x_{0} + \sqrt{x_{0} } = x_{1} + \sqrt{x_{1}}$ выполняется тогда и только тогда, когда $x_{0} = x_{1}$. Аналогичными рассуждениями доказывается, что $x_{1} = x_{2}$, и так далее, то есть, все числа искомого набора между собой равны. Таким образом, мы получим уже решенное уравнение $x = (10x)^{2}$.
Третий способ. «Упорядочим» числа в наборе: пусть, $x_{10} \geq x_{9} \geq \cdots \geq x_{1} \geq x_{0}$. По условию, $x_{0} = (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10})^{2}$ и $x_{1} = (x_{0} + x_{2} + \cdots x_{9} + x_{10})^{2}$, поэтому, $(x_{0} + x_{2} + \cdots x_{9} + x_{10})^{2} \geq (x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10})^{2} \Rightarrow x_{0} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10} \geq x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{9} + x_{10} \Leftrightarrow x_{0} \geq x_{1}$. Таким образом, $x_{0} = x_{1}$. Рассуждая аналогично, получим, что искомый набор состоит из одинаковых чисел, то есть, вновь приходим к уравнению $x = (10x)^{2}$.
Ответ: $(0; 0; \cdots ; 0); (0,01; 0,01; \cdots ; 0,01)$.
