Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1405
2018-12-13 
Существует ли четырехугольник, не имеющий ни центра симметрии, ни оси симметрии, который можно разрезать на два равных четырехугольника?
Решение:
Рассмотрим, например, квадрат ABCD и через его центр О проведем две взаимно перпендикулярные прямые, не параллельные сторонам квадрата и не содержащие его вершин (см. рис.). При повороте с центром О на $90^{ \circ}$ в любом направлении образом квадрата ABCD является тот же квадрат, а образом одной из проведенных прямых - другая. Например, если рассмотреть поворот с центром О, при котором образом вершины А является вершина В, то $D \rightarrow A$, а $B \rightarrow C$. В этом случае образом точки М является точка К, а образом точки К - точка Р. Следовательно, при таком повороте $OMAK \rightarrow OKBP$, то есть, эти четырехугольники равны. Значит, четырехугольник АВРМ - искомый.
Из приведенного рассуждения следует, что примером искомого четырехугольника может являться прямоугольная трапеция, в которой сумма оснований равна меньшей боковой стороне. Серединный перпендикуляр к большей боковой стороне разбивает ее на два равных четырехугольника.
Ответ: существует.
Существует ли четырехугольник, не имеющий ни центра симметрии, ни оси симметрии, который можно разрезать на два равных четырехугольника?
Решение:
Рассмотрим, например, квадрат ABCD и через его центр О проведем две взаимно перпендикулярные прямые, не параллельные сторонам квадрата и не содержащие его вершин (см. рис.). При повороте с центром О на $90^{ \circ}$ в любом направлении образом квадрата ABCD является тот же квадрат, а образом одной из проведенных прямых - другая. Например, если рассмотреть поворот с центром О, при котором образом вершины А является вершина В, то $D \rightarrow A$, а $B \rightarrow C$. В этом случае образом точки М является точка К, а образом точки К - точка Р. Следовательно, при таком повороте $OMAK \rightarrow OKBP$, то есть, эти четырехугольники равны. Значит, четырехугольник АВРМ - искомый.
Из приведенного рассуждения следует, что примером искомого четырехугольника может являться прямоугольная трапеция, в которой сумма оснований равна меньшей боковой стороне. Серединный перпендикуляр к большей боковой стороне разбивает ее на два равных четырехугольника.
Ответ: существует.
