Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1404
2018-12-13 
Представьте многочлен $x^{7} + x^{5} + 1$ в виде произведения двух многочленов.
Решение:
Первый способ. $x^{7} + x^{5} + 1 = (x^{7} + x^{5} + x^{3}) - (x^{3} - 1) = x^{3}(x^{4} + x^{2} + 1) - (x - 1)(x^{2} + x + 1) = (x^{2} + x + 1)(x^{3}(x^{2} - x + 1) - x + 1) = (x^{2} + x + 1)(x^{5}- x^{4} + x^{3} - x + 1)$, так как $x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{4} + 2x^{2} + 1) - x^{2} = (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} + x + 1)(x^{2} - x + 1)$.
Второй способ, $x^{7} + x^{5} + 1 = (x^{7} + x^{6} + x^{5}) - (x^{6} - 1) = x^{5}(x^{2} + x + 1) - (x^{3} + 1)(x^{3} - 1) = x^{5}(x^{2} + x + 1) - (x^{3} + 1)(x - 1)(x^{2} + x + 1) = (x^{2} + x + 1) (x^{5} - x^{4} + x^{3} - x + 1)$.
Если исходить из предположения, что все коэффициенты искомых множителей - целые числа, то ответ также можно получить, воспользовавшись методом «неопределенных коэффициентов».
Ответ: $x^{7} + x^{5} + 1 = (x^{2} + x + 1) (x^{5} - x^{4} + x^{3} - x + 1)$.
Представьте многочлен $x^{7} + x^{5} + 1$ в виде произведения двух многочленов.
Решение:
Первый способ. $x^{7} + x^{5} + 1 = (x^{7} + x^{5} + x^{3}) - (x^{3} - 1) = x^{3}(x^{4} + x^{2} + 1) - (x - 1)(x^{2} + x + 1) = (x^{2} + x + 1)(x^{3}(x^{2} - x + 1) - x + 1) = (x^{2} + x + 1)(x^{5}- x^{4} + x^{3} - x + 1)$, так как $x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{4} + 2x^{2} + 1) - x^{2} = (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} + x + 1)(x^{2} - x + 1)$.
Второй способ, $x^{7} + x^{5} + 1 = (x^{7} + x^{6} + x^{5}) - (x^{6} - 1) = x^{5}(x^{2} + x + 1) - (x^{3} + 1)(x^{3} - 1) = x^{5}(x^{2} + x + 1) - (x^{3} + 1)(x - 1)(x^{2} + x + 1) = (x^{2} + x + 1) (x^{5} - x^{4} + x^{3} - x + 1)$.
Если исходить из предположения, что все коэффициенты искомых множителей - целые числа, то ответ также можно получить, воспользовавшись методом «неопределенных коэффициентов».
Ответ: $x^{7} + x^{5} + 1 = (x^{2} + x + 1) (x^{5} - x^{4} + x^{3} - x + 1)$.
