Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1401
2018-12-13 
Существуют ли иррациональные числа $x$ и $y$ такие, что числа $x + y^{2}$ и $x + 2y$ - рациональные?
Решение:
Пусть $x + y^{2} = p, x + 2y = q$, где $p$ и $q$ - рациональные числа. Вычитая почленно, получим, что $y^{2} - 2y + r = 0$, где $r = q - p \in Q$. Выберем значение $r$ так, чтобы это квадратное уравнение имело иррациональные корни, например, $r = -1$. Тогда, корни уравнения: $y = 1 \pm \sqrt{2}$. Для того, чтобы выражение $x + 2y$ принимало какое-либо рациональное значение, например, $q = 2$, можно выбрать $x = \mp 2 \sqrt{2}$. Тогда, первое из данных условий выполняется автоматически при $p = q - r = 3$.
Из приведенного рассуждения следует, что пар (x; y), удовлетворяющих условию, - бесконечное множество, в частности, к указанному значению $x$ можно прибавить любое рациональное число.
Ответ: существуют, например, $x = 2 \sqrt{2}; y = 1 - \sqrt{2}$.
Существуют ли иррациональные числа $x$ и $y$ такие, что числа $x + y^{2}$ и $x + 2y$ - рациональные?
Решение:
Пусть $x + y^{2} = p, x + 2y = q$, где $p$ и $q$ - рациональные числа. Вычитая почленно, получим, что $y^{2} - 2y + r = 0$, где $r = q - p \in Q$. Выберем значение $r$ так, чтобы это квадратное уравнение имело иррациональные корни, например, $r = -1$. Тогда, корни уравнения: $y = 1 \pm \sqrt{2}$. Для того, чтобы выражение $x + 2y$ принимало какое-либо рациональное значение, например, $q = 2$, можно выбрать $x = \mp 2 \sqrt{2}$. Тогда, первое из данных условий выполняется автоматически при $p = q - r = 3$.
Из приведенного рассуждения следует, что пар (x; y), удовлетворяющих условию, - бесконечное множество, в частности, к указанному значению $x$ можно прибавить любое рациональное число.
Ответ: существуют, например, $x = 2 \sqrt{2}; y = 1 - \sqrt{2}$.
