Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1400
2018-12-08 
Укажите все натуральные значения $n$ такие, что $(n - 1)!$ делится на $n$. (Напомним, что $m! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots (m - 1) \cdot m$).
Решение:
Никакое простое число решением являться не может, так как число $(n - 1)!$ не содержит простой множитель $n$.
Пусть $n$ - составное число, большее пяти, тогда $n = ab$, где $a$ и $b$ - Различные натуральные числа, отличные от 1, или $n = p^{2}$, где $p$ - простое. В первом случае $(n - 1)! = 1 \cdot 2 \cdots (n - 2) \cdot (n - 1)$ содержит сомножители $a$ и $b$, значит, делится на $n$. Во втором случае, если $n > 5$, то $(n - 1)!$ содержит сомножители $p$ и $2p$ (так как $2p < p^{2} = n$), то есть, делится на $n$. Осталось проверить число 4 - единственное составное, меньшее 5. Оно не является решением, так как $3! = 6$ не делится на 4.
Ответ: все составные числа, большие 5.
Укажите все натуральные значения $n$ такие, что $(n - 1)!$ делится на $n$. (Напомним, что $m! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots (m - 1) \cdot m$).
Решение:
Никакое простое число решением являться не может, так как число $(n - 1)!$ не содержит простой множитель $n$.
Пусть $n$ - составное число, большее пяти, тогда $n = ab$, где $a$ и $b$ - Различные натуральные числа, отличные от 1, или $n = p^{2}$, где $p$ - простое. В первом случае $(n - 1)! = 1 \cdot 2 \cdots (n - 2) \cdot (n - 1)$ содержит сомножители $a$ и $b$, значит, делится на $n$. Во втором случае, если $n > 5$, то $(n - 1)!$ содержит сомножители $p$ и $2p$ (так как $2p < p^{2} = n$), то есть, делится на $n$. Осталось проверить число 4 - единственное составное, меньшее 5. Оно не является решением, так как $3! = 6$ не делится на 4.
Ответ: все составные числа, большие 5.
