Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 140
2014-06-07 
Для каждой пары значений $n,k \in \mathbf{N}$ найти все наборы неотрицательных чисел $x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}$, удовлетворяющие системе
$\begin{cases}
x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \cdots + x_{n}^{k} = 1,&\text{}\\
(1 + x_{1})(1 + x_{2}) \cdots (1 + x_{n}) = 1.&\text{}
\end{cases}
$
Решение:
Заметим, что для любого номера $i \in {1; \cdots ; n}$ набор неизвестных
$x_{i}= 1, x_{1} = \cdots = x_{i-1} = x_{i+1} = \cdots = x_{n} = 0$
удовлетворяет исходной системе. Докажем, что других наборов из $n$ неотрицательных чисел, удовлетворяющих этой системе, не существует. Заметим, что если $x_{i} \geq 0$ при $i = l, 2, \cdots, n$ и $x_{1}^{k}+ x_{2}^{k}+ \cdots + x_{n}^{k} =1$, то $x_{i} \in [0; 1]$. Следовательно, для искомых значений неизвестных имеем
$2 = (1 + x_{1})(1 + x_{2}) \cdots (1 + x_{n}) =$
$= 1 + (x_{1}+ x_{2}+ \cdots + x_{n}) + \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i}x_{j} + \cdots + x_{1}x_{2} \cdots x_{n} \geq$
$\geq 1 (x_{1}^{k}+ \cdots + x_{n}^{k}) + \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i}x_{j} = 2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i}x_{j}$
поэтому $\sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i}x_{j} = 0$. Отсюда следует, что все значения неизвестных, кроме, быть может, одного, должны быть равны нулю (если бы нашлась пара неизвестных $x_{p},x_{q}$, отличных от нуля, с номерами $p < q$, то выполнялись бы неравенства $\sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i}x_{j} \geq x_{p}x_{q} > 0$). Наконец, если для некоторого номера $i \in {1;2; \cdots ; n}$ все переменные $x_{1}, \cdots , x_{i-1},x_{i+1}, \cdots , x_{n}$ равны нулю, то в силу системы имеем $x_{i}=1$.
Для каждой пары значений $n,k \in \mathbf{N}$ найти все наборы неотрицательных чисел $x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}$, удовлетворяющие системе
$\begin{cases}
x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \cdots + x_{n}^{k} = 1,&\text{}\\
(1 + x_{1})(1 + x_{2}) \cdots (1 + x_{n}) = 1.&\text{}
\end{cases}
$
Решение:
Заметим, что для любого номера $i \in {1; \cdots ; n}$ набор неизвестных
$x_{i}= 1, x_{1} = \cdots = x_{i-1} = x_{i+1} = \cdots = x_{n} = 0$
удовлетворяет исходной системе. Докажем, что других наборов из $n$ неотрицательных чисел, удовлетворяющих этой системе, не существует. Заметим, что если $x_{i} \geq 0$ при $i = l, 2, \cdots, n$ и $x_{1}^{k}+ x_{2}^{k}+ \cdots + x_{n}^{k} =1$, то $x_{i} \in [0; 1]$. Следовательно, для искомых значений неизвестных имеем
$2 = (1 + x_{1})(1 + x_{2}) \cdots (1 + x_{n}) =$
$= 1 + (x_{1}+ x_{2}+ \cdots + x_{n}) + \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i}x_{j} + \cdots + x_{1}x_{2} \cdots x_{n} \geq$
$\geq 1 (x_{1}^{k}+ \cdots + x_{n}^{k}) + \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i}x_{j} = 2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i}x_{j}$
поэтому $\sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i}x_{j} = 0$. Отсюда следует, что все значения неизвестных, кроме, быть может, одного, должны быть равны нулю (если бы нашлась пара неизвестных $x_{p},x_{q}$, отличных от нуля, с номерами $p < q$, то выполнялись бы неравенства $\sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i}x_{j} \geq x_{p}x_{q} > 0$). Наконец, если для некоторого номера $i \in {1;2; \cdots ; n}$ все переменные $x_{1}, \cdots , x_{i-1},x_{i+1}, \cdots , x_{n}$ равны нулю, то в силу системы имеем $x_{i}=1$.
