Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1399
2018-12-08 
К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные его сторонам. Точки пересечения касательных со сторонами треугольника являются вершинами шестиугольника $ABCDEF$. Верно ли, что противолежащие стороны этого шестиугольника попарно равны?
Решение:
Первый способ. Продолжим стороны АВ и DC до пересечения в точке М (см. рис. а). Тогда AMDК - описанный параллелограмм, то есть - ромб. Следовательно, О - середина AD.
Аналогично доказывается, что О - середина BE и середина CF. Равенство противолежащих сторон шестиугольника следует из равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними: $\Delta AOB = \Delta DOE; \Delta BOC = \Delta EOF; \Delta COD = \Delta FOA$ (см. рис. б).
Второй способ. Параллельные касательные к окружности симметричны относительно ее центра О, поэтому, точки их пересечения также попарно симметричны относительно О (см. рис. б). Значит, отрезки АВ и ED, ВС и EF, CD и FA попарно симметричны, следовательно, АВ = ED, ВС = EF, CD = FA, что и требовалось доказать.
Ответ: верно.
К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные его сторонам. Точки пересечения касательных со сторонами треугольника являются вершинами шестиугольника $ABCDEF$. Верно ли, что противолежащие стороны этого шестиугольника попарно равны?
Решение:
Первый способ. Продолжим стороны АВ и DC до пересечения в точке М (см. рис. а). Тогда AMDК - описанный параллелограмм, то есть - ромб. Следовательно, О - середина AD.
Аналогично доказывается, что О - середина BE и середина CF. Равенство противолежащих сторон шестиугольника следует из равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними: $\Delta AOB = \Delta DOE; \Delta BOC = \Delta EOF; \Delta COD = \Delta FOA$ (см. рис. б).
Второй способ. Параллельные касательные к окружности симметричны относительно ее центра О, поэтому, точки их пересечения также попарно симметричны относительно О (см. рис. б). Значит, отрезки АВ и ED, ВС и EF, CD и FA попарно симметричны, следовательно, АВ = ED, ВС = EF, CD = FA, что и требовалось доказать.
Ответ: верно.
