Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1398
2018-12-08 
Докажите, что при всех $x > 0, y > 0$ выполняется неравенство
$\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{2} + x^{2} } \leq \frac{1}{xy}$.
Решение:
Если $x > 0, y > 0$, то $\frac{x}{x^{4} + y^{2} } + \frac{y}{y^{4} + x^{2} } \leq \frac{1}{xy} \Leftrightarrow \frac{2x^{2}y }{x^{4} + y^{2} } + \frac{2y^{2}x }{y^{4} + x^{2} } \leq 2 \Leftrightarrow \left ( 1 - \frac{2x^{2}y }{x^{4} + y^{2} } \right ) + \left ( 1- \frac{2y^{2}x }{y^{4} + x^{2} } \right ) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x^{2} - y )^{2} }{x^{4} + y^{2} } + \frac{(y^{2} - x )^{2} }{y^{4} + x^{2} } \geq 0$. Последнее неравенство выполняется при всех положительных значениях $x$ и $y$, поэтому, выполняете я и данное неравенство.
Можно также составить частное левой и правой части доказываемого неравенства и аналогичными преобразованиями доказать, что значение частного не превосходит 1. Этого достаточно для доказательства данного неравенства, так как оно содержит только положительные числа.
Как указанные, так и другие возможные способы доказательства, сводятся к доказательству неравенств $\frac{2x^{2}y }{x^{4} + y^{2} } \leq 1$ и $\frac{2xy^{2} }{y^{4} + x^{2} } \leq 1$, которые, в свою очередь, являются следствиями верного неравенства $a^{2} + b^{2} \geq 2ab$.
Отметим также, что традиционный способ доказательства неравенств, связанный с преобразованием разности его левой и правой части, приводит к очень громоздким выкладкам.
Докажите, что при всех $x > 0, y > 0$ выполняется неравенство
$\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{2} + x^{2} } \leq \frac{1}{xy}$.
Решение:
Если $x > 0, y > 0$, то $\frac{x}{x^{4} + y^{2} } + \frac{y}{y^{4} + x^{2} } \leq \frac{1}{xy} \Leftrightarrow \frac{2x^{2}y }{x^{4} + y^{2} } + \frac{2y^{2}x }{y^{4} + x^{2} } \leq 2 \Leftrightarrow \left ( 1 - \frac{2x^{2}y }{x^{4} + y^{2} } \right ) + \left ( 1- \frac{2y^{2}x }{y^{4} + x^{2} } \right ) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x^{2} - y )^{2} }{x^{4} + y^{2} } + \frac{(y^{2} - x )^{2} }{y^{4} + x^{2} } \geq 0$. Последнее неравенство выполняется при всех положительных значениях $x$ и $y$, поэтому, выполняете я и данное неравенство.
Можно также составить частное левой и правой части доказываемого неравенства и аналогичными преобразованиями доказать, что значение частного не превосходит 1. Этого достаточно для доказательства данного неравенства, так как оно содержит только положительные числа.
Как указанные, так и другие возможные способы доказательства, сводятся к доказательству неравенств $\frac{2x^{2}y }{x^{4} + y^{2} } \leq 1$ и $\frac{2xy^{2} }{y^{4} + x^{2} } \leq 1$, которые, в свою очередь, являются следствиями верного неравенства $a^{2} + b^{2} \geq 2ab$.
Отметим также, что традиционный способ доказательства неравенств, связанный с преобразованием разности его левой и правой части, приводит к очень громоздким выкладкам.
