Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1396
2018-12-08 
$CA$ и $CB$ - касательные к окружности в точках $A$ и $B$ соответственно, $AD$ - ее диаметр. Прямые $DB$ и $AC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что $C$ - середина отрезка $AE$.
Решение:
Первый способ. Соединим центр О данной окружности с точками В и С (см. рис. а). Из равенства прямоугольных треугольников ОАС и ОВС следует, что ОС - биссектриса внешнего угла AОВ треугольника BOD. Так как $\Delta BOD$ - равнобедренный (ОВ = OD), то $OC \parallel BD$, тогда, по теореме Фалеса, С - середина отрезка АЕ, что и требовалось доказать.
Второй способ. Соединим точки А и В, тогда $\angle ABD = 90^{ \circ}$, так как этот угол - вписанный и опирается на диаметр окружности (см. рис. б). Так как СА = СВ, то в прямоугольном треугольнике АВЕ точка С, лежащая на гипотенузе АЕ, равноудалена от вершин А и В. Значит, эта точка лежит на серединном перпендикуляре к катету АВ, то есть, является серединой гипотенузы, что и требовалось доказать.
$CA$ и $CB$ - касательные к окружности в точках $A$ и $B$ соответственно, $AD$ - ее диаметр. Прямые $DB$ и $AC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что $C$ - середина отрезка $AE$.
Решение:
Первый способ. Соединим центр О данной окружности с точками В и С (см. рис. а). Из равенства прямоугольных треугольников ОАС и ОВС следует, что ОС - биссектриса внешнего угла AОВ треугольника BOD. Так как $\Delta BOD$ - равнобедренный (ОВ = OD), то $OC \parallel BD$, тогда, по теореме Фалеса, С - середина отрезка АЕ, что и требовалось доказать.
Второй способ. Соединим точки А и В, тогда $\angle ABD = 90^{ \circ}$, так как этот угол - вписанный и опирается на диаметр окружности (см. рис. б). Так как СА = СВ, то в прямоугольном треугольнике АВЕ точка С, лежащая на гипотенузе АЕ, равноудалена от вершин А и В. Значит, эта точка лежит на серединном перпендикуляре к катету АВ, то есть, является серединой гипотенузы, что и требовалось доказать.
