Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1395
2018-12-08 
Найдите среднее арифметическое всех пятизначных чисел-палиндромов (чисел, которые справа налево и слева направо читаются одинаково, например, 12421).
Решение:
Будем отдельно считать суммы единиц, десятков, сотен и т. д., встречающихся в этих палиндромах. Любой палиндром имеет вид $\overline{abcba}$. Для каждой цифры в разряде сотен существует $90 = 9 \cdot 10$ вариантов выбора $a$ и $b$ ($a \neq 0$). Поэтому общее количество палиндромов равно $9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$.
Сумма всех сотен в палиндромах равна
$(0 + 100 + 200 + \cdots + 800 + 900) \cdot 90 = (1 + 2 + \cdots + 8 + 9) \cdot 100 \cdot 90 = 45 \cdot 90 \cdot 100$.
Аналогично, сумма всех тысяч и десятков равна
$(0 + 1010 + 2020 + \cdots + 8080 + 9090) \cdot 90 = (1 + 2 + \cdots + 8 + 9) \cdot 1010 \cdot 90 = 45 \cdot 90 \cdot 1010$,
сумма всех десятков тысяч и единиц равна
$(10001 + 20002 + 30003 + \cdots + 80008 + 90009) \cdot 100 = (1 + 2 + 3 + \cdots + 8 +9) \cdot 10001 \cdot 100 = 45 \cdot 100 \cdot 10001$.
Таким образом среднее арифметическое всех чисел-палиндромов равно
$\frac{45 \cdot 90 \cdot 100 + 45 \cdot 90 \cdot 1010 + 45 \cdot 100 \cdot 10001}{900} = \frac{45 \cdot (9000 + 90900 + 1000100)}{900} = \frac{1100000}{20} = 55 000$.
Ответ: 55000.
Найдите среднее арифметическое всех пятизначных чисел-палиндромов (чисел, которые справа налево и слева направо читаются одинаково, например, 12421).
Решение:
Будем отдельно считать суммы единиц, десятков, сотен и т. д., встречающихся в этих палиндромах. Любой палиндром имеет вид $\overline{abcba}$. Для каждой цифры в разряде сотен существует $90 = 9 \cdot 10$ вариантов выбора $a$ и $b$ ($a \neq 0$). Поэтому общее количество палиндромов равно $9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$.
Сумма всех сотен в палиндромах равна
$(0 + 100 + 200 + \cdots + 800 + 900) \cdot 90 = (1 + 2 + \cdots + 8 + 9) \cdot 100 \cdot 90 = 45 \cdot 90 \cdot 100$.
Аналогично, сумма всех тысяч и десятков равна
$(0 + 1010 + 2020 + \cdots + 8080 + 9090) \cdot 90 = (1 + 2 + \cdots + 8 + 9) \cdot 1010 \cdot 90 = 45 \cdot 90 \cdot 1010$,
сумма всех десятков тысяч и единиц равна
$(10001 + 20002 + 30003 + \cdots + 80008 + 90009) \cdot 100 = (1 + 2 + 3 + \cdots + 8 +9) \cdot 10001 \cdot 100 = 45 \cdot 100 \cdot 10001$.
Таким образом среднее арифметическое всех чисел-палиндромов равно
$\frac{45 \cdot 90 \cdot 100 + 45 \cdot 90 \cdot 1010 + 45 \cdot 100 \cdot 10001}{900} = \frac{45 \cdot (9000 + 90900 + 1000100)}{900} = \frac{1100000}{20} = 55 000$.
Ответ: 55000.
