Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1394
2018-12-08 
Вершины параллелограмма $ABCD$ являются центрами непересекающихся окружностей, радиусы которых равны 5, б, 8 и 7 (см. рисунок). К окружностям с центрами в противолежащимих вершинах проведены общие внешние касательные, которые образуют новый четырёхугольник. Докажите, что в него можно вписать окружность и найдите её радиус.
Решение:
1) Рассмотрим точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Пусть $B_{1}$ и $D_{1}$ - точки касания (см. рис.). Тогда $BB_{1}D_{1}D$ - прямоугольная трапеция. Перпендикуляр ON к отрезку $B_{1}D_{1}$ является ее средней линиеи. Следовательно, $ON = \frac{BB_{1} + DD_{1} }{2} = \frac{6 + 7}{2} = 6,5$. Перпендикуляр ОР, опущенный на другую касательную к той же паре окружностей, равен ON.
2) Аналогично, перпендикуляры ОК и ОМ, опущенные на две дру-гие касательные, равны $\frac{5 + 8}{2} =6,5$.
Таким образом, точка О равноудалена от всех касательных, следовательно, она является центром окружности, радиус которой равен 6,5.
Ответ: $r = 6,5$.
Вершины параллелограмма $ABCD$ являются центрами непересекающихся окружностей, радиусы которых равны 5, б, 8 и 7 (см. рисунок). К окружностям с центрами в противолежащимих вершинах проведены общие внешние касательные, которые образуют новый четырёхугольник. Докажите, что в него можно вписать окружность и найдите её радиус.
Решение:
1) Рассмотрим точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Пусть $B_{1}$ и $D_{1}$ - точки касания (см. рис.). Тогда $BB_{1}D_{1}D$ - прямоугольная трапеция. Перпендикуляр ON к отрезку $B_{1}D_{1}$ является ее средней линиеи. Следовательно, $ON = \frac{BB_{1} + DD_{1} }{2} = \frac{6 + 7}{2} = 6,5$. Перпендикуляр ОР, опущенный на другую касательную к той же паре окружностей, равен ON.
2) Аналогично, перпендикуляры ОК и ОМ, опущенные на две дру-гие касательные, равны $\frac{5 + 8}{2} =6,5$.
Таким образом, точка О равноудалена от всех касательных, следовательно, она является центром окружности, радиус которой равен 6,5.
Ответ: $r = 6,5$.
