Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1393
2018-12-08 
При каких значения параметра $a$ разность корней квадратного Уравнения $x^{2} - 6x + 12 + a^{2} - 4a = 0$ принимает наибольшее значение?
Решение:
Первый способ. Исходное уравнение равносильно уравнению $(x - 3)^{2} + (a - 2)^{2} = 1$. Графиком этого уравнения в системе координат $(x, a)$ является окружность с центром в точке (3; 2) и радиусом 1 (см. рис.). Рассмотрим произвольную прямую, параллельную оси $x$ и пересекающую окружность в двух точках. Абсциссы этих точек $x_{1}$ и $x_{2}$ являются корнями уравнения, а разность $x_{2} - x_{1}$ равна длине хорды окружности. Эта разность будет наибольшей, в случае, если хорда является диаметром, то есть, при $a = 2$.
Второй способ. Данное уравнение имеет два различных корня, если $D/4 = 9 -12 - a^{2} + 4a = - a^{2} + 4a - 3 > 0$. Разность $x_{2} - x_{1} = 3 + \sqrt{D/4} - (3 - \sqrt{D/4}) = \sqrt{D}$ принимает наибольшее значение при наибольшем значении дискриминанта. Рассмотрим квадратный трехчлен $D/4 = - a^{2} + 4a - 3 = - (a - 2)^{2} + 1$. Он принимает наибольшее значение при $a = 2$, и это значение положительно.
Ответ: при $a = 2$.
При каких значения параметра $a$ разность корней квадратного Уравнения $x^{2} - 6x + 12 + a^{2} - 4a = 0$ принимает наибольшее значение?
Решение:
Первый способ. Исходное уравнение равносильно уравнению $(x - 3)^{2} + (a - 2)^{2} = 1$. Графиком этого уравнения в системе координат $(x, a)$ является окружность с центром в точке (3; 2) и радиусом 1 (см. рис.). Рассмотрим произвольную прямую, параллельную оси $x$ и пересекающую окружность в двух точках. Абсциссы этих точек $x_{1}$ и $x_{2}$ являются корнями уравнения, а разность $x_{2} - x_{1}$ равна длине хорды окружности. Эта разность будет наибольшей, в случае, если хорда является диаметром, то есть, при $a = 2$.
Второй способ. Данное уравнение имеет два различных корня, если $D/4 = 9 -12 - a^{2} + 4a = - a^{2} + 4a - 3 > 0$. Разность $x_{2} - x_{1} = 3 + \sqrt{D/4} - (3 - \sqrt{D/4}) = \sqrt{D}$ принимает наибольшее значение при наибольшем значении дискриминанта. Рассмотрим квадратный трехчлен $D/4 = - a^{2} + 4a - 3 = - (a - 2)^{2} + 1$. Он принимает наибольшее значение при $a = 2$, и это значение положительно.
Ответ: при $a = 2$.
