Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1392
2018-12-08 
На столе поставлены в один ряд $N$ стаканов, перевёрнутые вверх дном. Разрешается одновременно переворачивать два стакана, стоящие через один. При каких значениях $N$ можно добиться того, чтобы все стаканы стояли дном вниз?
Решение:
Стаканы, стоящие на нечетных местах, покрасим в красный цвет, а остальные - в белый. Каждая операция позволяет перевернуть два стакана одного цвета. Поэтому чётность количества стаканов одного Цвета, стоящих вниз дном, не изменяется. Вначале дном вниз не стоит ни одного стакана, значит, для того чтобы все стаканы оказались перевернутыми, необходимо, чтобы стаканов каждого цвета было четное количество, то есть $N$ должно делиться на 4. Если $N$ делится на 4, то все стаканы можно перевернуть: разделим ряд стаканов на группы по 4, и в каждой группе перевернем сначала два белых, а затем два красных стакана.
Ответ: при $N$, кратных 4.
На столе поставлены в один ряд $N$ стаканов, перевёрнутые вверх дном. Разрешается одновременно переворачивать два стакана, стоящие через один. При каких значениях $N$ можно добиться того, чтобы все стаканы стояли дном вниз?
Решение:
Стаканы, стоящие на нечетных местах, покрасим в красный цвет, а остальные - в белый. Каждая операция позволяет перевернуть два стакана одного цвета. Поэтому чётность количества стаканов одного Цвета, стоящих вниз дном, не изменяется. Вначале дном вниз не стоит ни одного стакана, значит, для того чтобы все стаканы оказались перевернутыми, необходимо, чтобы стаканов каждого цвета было четное количество, то есть $N$ должно делиться на 4. Если $N$ делится на 4, то все стаканы можно перевернуть: разделим ряд стаканов на группы по 4, и в каждой группе перевернем сначала два белых, а затем два красных стакана.
Ответ: при $N$, кратных 4.
