Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1391
2018-12-08 
$A$ и $B$ - фиксированные точки на плоскости. Найдите геометрическое место точек $M$ этой плоскости, для которых выполняется условие: $\angle ABM$ - наибольший из углов треугольника $ABM$.
Решение:
I. Пусть М - точка плоскости, удовлетворяющая условию.
1) Так как $\angle ABM$ - наибольший в $\Delta ABM$, то сторона AM - наибольшая, то есть $AM > AB$ и $AM > BM$.
2) Так как $AM > AB$, то точка М находится вне круга с центром А и радиусом AB.
3) Так как $AM > BM$, то точки М и В лежат в одной полуплоскости относительно серединного перпендикуляра к отрезку АВ.
4) Так как AMВ - треугольник, то точка М не лежит на прямой АВ.
II. Пусть М принадлежит заштрихованной области.
1) Так как М не лежит на прямой АВ, то AMВ - треугольник.
2) Так как М вне круга с центром А и радиусом АВ, то AM > АВ.
3) Так как точки М и В лежат в одной полуплоскости относительно серединного перпендикуляра к отрезку АВ, то AM > BМ. Итак, в $\Delta AMB$ сторона AM - наибольшая, следовательно, и $\angle ABM$ - наибольший.
Ответ: см. рис.
$A$ и $B$ - фиксированные точки на плоскости. Найдите геометрическое место точек $M$ этой плоскости, для которых выполняется условие: $\angle ABM$ - наибольший из углов треугольника $ABM$.
Решение:
I. Пусть М - точка плоскости, удовлетворяющая условию.
1) Так как $\angle ABM$ - наибольший в $\Delta ABM$, то сторона AM - наибольшая, то есть $AM > AB$ и $AM > BM$.
2) Так как $AM > AB$, то точка М находится вне круга с центром А и радиусом AB.
3) Так как $AM > BM$, то точки М и В лежат в одной полуплоскости относительно серединного перпендикуляра к отрезку АВ.
4) Так как AMВ - треугольник, то точка М не лежит на прямой АВ.
II. Пусть М принадлежит заштрихованной области.
1) Так как М не лежит на прямой АВ, то AMВ - треугольник.
2) Так как М вне круга с центром А и радиусом АВ, то AM > АВ.
3) Так как точки М и В лежат в одной полуплоскости относительно серединного перпендикуляра к отрезку АВ, то AM > BМ. Итак, в $\Delta AMB$ сторона AM - наибольшая, следовательно, и $\angle ABM$ - наибольший.
Ответ: см. рис.
