Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1390
2018-12-08 
Решите систему уравнений:
$\begin{cases} x + y + z = 3, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3. \end{cases}$
Решение:
Первый способ. Из первого уравнения: $z = 3 - x - y$. Подставив это выражение во второе уравнение, получим $x^{2} + y^{2} + 9 + x^{2} + y^{2} - 6x - 6y + 2xy = 3$. Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $x: x^{2} + (y - 3)x + (y^{2} - 3y + 3) = 0$. Тогда его дискриминант $D = (y - 3)^{2} - 4(y^{2} - 3y + 3) = -3y^{2} + 6y - 3 = -3(y - 1)^{2} \leq 0$. Следовательно, уравнение имеет решение только если $D = 0$, то есть $y = 1$. Полученное квадратное уравнение примет вид $x^{2} - 2x + 1 = 0$, значит $x = 1$. Из первого уравнения системы получим, что и $z = 1$.
Второй способ. Возведем первое уравнение системы в квадрат:
$\begin{cases} (x + y + z)^{2} = 9, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3. \end{cases}$
Раскроем скобки:
$\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2yz + 2xz = 9, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3. \end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе, и домножим второе уравнение на 2:
$\begin{cases} 2xy + 2yz + 2xz = 6, \\ 2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} = 6. \end{cases}$
Приравняем полученные выражения: $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} = 2xy + 2yz + 2xz$. Перенеся все члены в левую часть, выделим полные квадраты: $(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2} = 0$. Отсюда: $x = y = z$. Из первого уравнения получим, что $x = y = z = 1$. Найденное решение удовлетворяет и второму уравнению системы.
Ответ: (1,1,1).
Решите систему уравнений:
$\begin{cases} x + y + z = 3, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3. \end{cases}$
Решение:
Первый способ. Из первого уравнения: $z = 3 - x - y$. Подставив это выражение во второе уравнение, получим $x^{2} + y^{2} + 9 + x^{2} + y^{2} - 6x - 6y + 2xy = 3$. Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $x: x^{2} + (y - 3)x + (y^{2} - 3y + 3) = 0$. Тогда его дискриминант $D = (y - 3)^{2} - 4(y^{2} - 3y + 3) = -3y^{2} + 6y - 3 = -3(y - 1)^{2} \leq 0$. Следовательно, уравнение имеет решение только если $D = 0$, то есть $y = 1$. Полученное квадратное уравнение примет вид $x^{2} - 2x + 1 = 0$, значит $x = 1$. Из первого уравнения системы получим, что и $z = 1$.
Второй способ. Возведем первое уравнение системы в квадрат:
$\begin{cases} (x + y + z)^{2} = 9, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3. \end{cases}$
Раскроем скобки:
$\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2yz + 2xz = 9, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3. \end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе, и домножим второе уравнение на 2:
$\begin{cases} 2xy + 2yz + 2xz = 6, \\ 2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} = 6. \end{cases}$
Приравняем полученные выражения: $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} = 2xy + 2yz + 2xz$. Перенеся все члены в левую часть, выделим полные квадраты: $(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2} = 0$. Отсюда: $x = y = z$. Из первого уравнения получим, что $x = y = z = 1$. Найденное решение удовлетворяет и второму уравнению системы.
Ответ: (1,1,1).
