Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1389
2018-12-08 
В треугольнике $ABC: \angle A > \angle B > \angle C$. К какой из сторон треугольника ближе всего расположен центр окружности, описанной около этого треугольника?
Решение:
1) Пусть О - центр описанной окружности (см. рис.). Соединим точку О с вершинами треугольника и опустим перпендикуляры на стороны: $OH_{1} \perp CB, OH_{2} \perp AB, OH_{3} \perp AC$. Тогда $H_{1}, H_{2}$ и $H_{3}$ - середины сторон треугольника.
2) Так как $\angle A > \angle B > \angle C$, то $CB > AC > AB$; следовательно $CH_{1} > AH_{3} > BH_{2}$. Так как в прямоугольных треугольниках $OCH_{1}, OCH_{2}$ и $OAH_{3}$ гипотенузы равны, то $OH_{1} < OH_{3} < OH_{2}$.
Данное решение не зависит от того, расположен ли центр описанной окружности внутри или вне треугольника, то есть не зависит от вида треугольника.
Ответ: центр расположен ближе к стороне ВС.
В треугольнике $ABC: \angle A > \angle B > \angle C$. К какой из сторон треугольника ближе всего расположен центр окружности, описанной около этого треугольника?
Решение:
1) Пусть О - центр описанной окружности (см. рис.). Соединим точку О с вершинами треугольника и опустим перпендикуляры на стороны: $OH_{1} \perp CB, OH_{2} \perp AB, OH_{3} \perp AC$. Тогда $H_{1}, H_{2}$ и $H_{3}$ - середины сторон треугольника.
2) Так как $\angle A > \angle B > \angle C$, то $CB > AC > AB$; следовательно $CH_{1} > AH_{3} > BH_{2}$. Так как в прямоугольных треугольниках $OCH_{1}, OCH_{2}$ и $OAH_{3}$ гипотенузы равны, то $OH_{1} < OH_{3} < OH_{2}$.
Данное решение не зависит от того, расположен ли центр описанной окружности внутри или вне треугольника, то есть не зависит от вида треугольника.
Ответ: центр расположен ближе к стороне ВС.
