Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1387
2018-12-08 
Один из углов трапеции равен $60^{ \circ}$. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.
Решение:
1) Так как трапеция ABCD - вписанная, то она равнобокая, то есть АВ = CD.
2) Так как трапеция ABCD - описанная, то АВ + CD = ВС + AD. Следовательно, $AB = \frac{AD + BC}{2}$. Пусть $AD = a, BC = b$. Проведем высоты ВН и СМ (см. рис.). $AH = DM = \frac{a - b}{2}$. Так как $\angle BAH = 60^{ \circ}, \angle ABH = 30^{ \circ}$, следовательно, $AB = 2AH$. Получим, что $\frac{a + b}{2} = a - b$, а это равносильно тому, что $a = 3b$.
Ответ: 1 : 3.
Один из углов трапеции равен $60^{ \circ}$. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.
Решение:
1) Так как трапеция ABCD - вписанная, то она равнобокая, то есть АВ = CD.
2) Так как трапеция ABCD - описанная, то АВ + CD = ВС + AD. Следовательно, $AB = \frac{AD + BC}{2}$. Пусть $AD = a, BC = b$. Проведем высоты ВН и СМ (см. рис.). $AH = DM = \frac{a - b}{2}$. Так как $\angle BAH = 60^{ \circ}, \angle ABH = 30^{ \circ}$, следовательно, $AB = 2AH$. Получим, что $\frac{a + b}{2} = a - b$, а это равносильно тому, что $a = 3b$.
Ответ: 1 : 3.
