Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1386
2018-12-08 
Докажите, что среди чисел вида $19991999 \cdots 1999$ найдется хотя бы одно, которое делится на 2001.
Решение:
Рассмотрим 2002 числа: 1999; 19991999; 199919991999 $\cdots$. Среди них найдутся хотя бы два числа, имеющие одинаковые остатки от деления на 2001 (так как существует ровно 2001 остаток от деления на 2001). Тогда, разность этих двух чисел делится на 2001 и является числом вида $19991999 \cdots 199900 \cdots 0$. Поскольку числа 10 и 2001 взаимно просты, то и одно из чисел вида $19991999 \cdots 1999$ делится на 2001.
Докажите, что среди чисел вида $19991999 \cdots 1999$ найдется хотя бы одно, которое делится на 2001.
Решение:
Рассмотрим 2002 числа: 1999; 19991999; 199919991999 $\cdots$. Среди них найдутся хотя бы два числа, имеющие одинаковые остатки от деления на 2001 (так как существует ровно 2001 остаток от деления на 2001). Тогда, разность этих двух чисел делится на 2001 и является числом вида $19991999 \cdots 199900 \cdots 0$. Поскольку числа 10 и 2001 взаимно просты, то и одно из чисел вида $19991999 \cdots 1999$ делится на 2001.
