Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1385
2018-12-08 
Дан тупоугольный треугольник $ABC$. На стороне $AC$, лежащей против тупого угла, укажите такие точки $D$, что длина отрезка $BD$ является средним геометрическим длин отрезков $AD$ и $CD$.
Решение:
Рассмотрим окружность, описанную около треугольника АВС (см. рис.). На стороне АС выберем произвольную точку М. На луче ВМ от точки М отложим отрезок МК, равный ВМ. Через точку К проведем прямую, параллельную АС, которая пересечет окружность в двух точках, $P_{1}$ и $P_{2}$ (поскольку угол В - тупой). $D_{1}$ и $D_{2}$ - точки пересечения хорд $BP_{1}$ и $BP_{2}$ с отрезком АС, которые делят эти хорды пополам (теорема Фалеса). Они и будут искомыми, так как для каждой из них выполняется равенство $DA \cdot DC = DB \cdot DP$, из которого, Учитывая, что $DB = DP$, получаем, что $BD^{2} = AD \cdot CD$.
Никакие другие точки отрезка АС указанным свойством не обладают. Действительно, для какой-нибудь точки X отрезка АС верно равенство $BX^{2} = AX \cdot CX$ (см. рис.). Так как $BX \cdot XY = AX \cdot CX$, то $BX = XY$, что невозможно.
Дан тупоугольный треугольник $ABC$. На стороне $AC$, лежащей против тупого угла, укажите такие точки $D$, что длина отрезка $BD$ является средним геометрическим длин отрезков $AD$ и $CD$.
Решение:
Рассмотрим окружность, описанную около треугольника АВС (см. рис.). На стороне АС выберем произвольную точку М. На луче ВМ от точки М отложим отрезок МК, равный ВМ. Через точку К проведем прямую, параллельную АС, которая пересечет окружность в двух точках, $P_{1}$ и $P_{2}$ (поскольку угол В - тупой). $D_{1}$ и $D_{2}$ - точки пересечения хорд $BP_{1}$ и $BP_{2}$ с отрезком АС, которые делят эти хорды пополам (теорема Фалеса). Они и будут искомыми, так как для каждой из них выполняется равенство $DA \cdot DC = DB \cdot DP$, из которого, Учитывая, что $DB = DP$, получаем, что $BD^{2} = AD \cdot CD$.
Никакие другие точки отрезка АС указанным свойством не обладают. Действительно, для какой-нибудь точки X отрезка АС верно равенство $BX^{2} = AX \cdot CX$ (см. рис.). Так как $BX \cdot XY = AX \cdot CX$, то $BX = XY$, что невозможно.
