Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1381
2018-12-08 
Представьте единицу в виде суммы квадратов пяти попарно различных положительных рациональных чисел.
Решение:
Один из возможных способов решения:
$1 = \left ( \frac{3}{5} \right )^{2} + \left ( \frac{4}{5} \right )^{2} = \left ( \frac{3}{5} \right )^{2} \left ( \left ( \frac{3}{5} \right )^{2} + \left ( \frac{4}{5} \right )^{2} \right ) + \left ( \frac{4}{5} \right )^{2} \left ( \left ( \frac{5}{13} \right )^{2} + \left ( \frac{12}{13} \right )^{2} \right ) = \left ( \frac{9}{25} \right )^{2} + \left ( \frac{12}{25} \right )^{2} + \left ( \frac{4}{13} \right )^{2} \left ( \left ( \frac{3}{5} \right )^{2} + \left ( \frac{4}{5} \right )^{2} \right ) + \left ( \frac{48}{65} \right )^{2} = \left ( \frac{9}{25} \right )^{2} + \left ( \frac{12}{25} \right )^{2} + \left ( \frac{12}{65} \right )^{2} + \left ( \frac{16}{65} \right )^{2} + \left ( \frac{48}{65} \right )^{2}$.
Еще один вариант ответа: $1 = \left ( \frac{4}{5} \right )^{2} + \left ( \frac{12}{25} \right )^{2} + \left ( \frac{36}{125} \right )^{2} + \left ( \frac{81}{625} \right )^{2} + \left ( \frac{108}{625} \right )^{2}$.
Задача легко обобщается: аналогичные представления единицы возможны для любого конечного количества слагаемых.
Представьте единицу в виде суммы квадратов пяти попарно различных положительных рациональных чисел.
Решение:
Один из возможных способов решения:
$1 = \left ( \frac{3}{5} \right )^{2} + \left ( \frac{4}{5} \right )^{2} = \left ( \frac{3}{5} \right )^{2} \left ( \left ( \frac{3}{5} \right )^{2} + \left ( \frac{4}{5} \right )^{2} \right ) + \left ( \frac{4}{5} \right )^{2} \left ( \left ( \frac{5}{13} \right )^{2} + \left ( \frac{12}{13} \right )^{2} \right ) = \left ( \frac{9}{25} \right )^{2} + \left ( \frac{12}{25} \right )^{2} + \left ( \frac{4}{13} \right )^{2} \left ( \left ( \frac{3}{5} \right )^{2} + \left ( \frac{4}{5} \right )^{2} \right ) + \left ( \frac{48}{65} \right )^{2} = \left ( \frac{9}{25} \right )^{2} + \left ( \frac{12}{25} \right )^{2} + \left ( \frac{12}{65} \right )^{2} + \left ( \frac{16}{65} \right )^{2} + \left ( \frac{48}{65} \right )^{2}$.
Еще один вариант ответа: $1 = \left ( \frac{4}{5} \right )^{2} + \left ( \frac{12}{25} \right )^{2} + \left ( \frac{36}{125} \right )^{2} + \left ( \frac{81}{625} \right )^{2} + \left ( \frac{108}{625} \right )^{2}$.
Задача легко обобщается: аналогичные представления единицы возможны для любого конечного количества слагаемых.
