Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1378
2018-12-08 
Каждый зритель, пришедший на спектакль «Королевский жираф», принес с собой либо одну дохлую кошку, либо два кочана гнилой капусты, либо три тухлых яйца. Стоявший у входа Гекльберри Финн подсчитал, что кошек было 64 штуки. После спектакля оба артиста - король и герцог - были с ног до головы закиданы припасами, причем на долю каждого досталось поровну предметов (а промахов жители Арканзаса не делают). Правда, король принял на себя лишь пятую часть всех яиц и седьмую часть капусты, но все дохлые кошки полетели именно в него. Сколько зрителей пришло на представление?
Решение:
Пусть в короля попало $x$ яиц, $y$ кочанов и 64 кошки. Тогда, герцогу досталось $4x$ яиц и $6y$ кочанов. Так как предметов, угодивших в них, равное количество, то составляем уравнение: $x+y+64 = 4x+6y$, которое равносильно уравнению $3x + 5y = 64$. Из условия задачи следует, что общее количество яиц делится на 3, а общее количество кочанов - на 2. Следовательно, $5x$ кратно трем, а $7y$ кратно двум. С учетом того, что числа 5 и 3, а также числа 7 и 2 образуют пары взаимно простых чисел, имеем, что $x = 3k$, а $y = 2n$, где $k \in N$ и $n \in N$. Подставляя в исходное уравнение, получаем: $9k + 10n = 64$. Перебором находим, что его решением в натуральных числах является только $n = 1; k = 6$. То есть, $x = 18; y = 2$. Значит, на представление было принесено $5x = 90$ (яиц), $7y = 14$ (кочанов) и 64 кошки. Следовательно, количество зрителей, пришедших на представление, равно: $90 : 3 + 14 : 2 + 64 = 101$.
Ответ: 101.
Каждый зритель, пришедший на спектакль «Королевский жираф», принес с собой либо одну дохлую кошку, либо два кочана гнилой капусты, либо три тухлых яйца. Стоявший у входа Гекльберри Финн подсчитал, что кошек было 64 штуки. После спектакля оба артиста - король и герцог - были с ног до головы закиданы припасами, причем на долю каждого досталось поровну предметов (а промахов жители Арканзаса не делают). Правда, король принял на себя лишь пятую часть всех яиц и седьмую часть капусты, но все дохлые кошки полетели именно в него. Сколько зрителей пришло на представление?
Решение:
Пусть в короля попало $x$ яиц, $y$ кочанов и 64 кошки. Тогда, герцогу досталось $4x$ яиц и $6y$ кочанов. Так как предметов, угодивших в них, равное количество, то составляем уравнение: $x+y+64 = 4x+6y$, которое равносильно уравнению $3x + 5y = 64$. Из условия задачи следует, что общее количество яиц делится на 3, а общее количество кочанов - на 2. Следовательно, $5x$ кратно трем, а $7y$ кратно двум. С учетом того, что числа 5 и 3, а также числа 7 и 2 образуют пары взаимно простых чисел, имеем, что $x = 3k$, а $y = 2n$, где $k \in N$ и $n \in N$. Подставляя в исходное уравнение, получаем: $9k + 10n = 64$. Перебором находим, что его решением в натуральных числах является только $n = 1; k = 6$. То есть, $x = 18; y = 2$. Значит, на представление было принесено $5x = 90$ (яиц), $7y = 14$ (кочанов) и 64 кошки. Следовательно, количество зрителей, пришедших на представление, равно: $90 : 3 + 14 : 2 + 64 = 101$.
Ответ: 101.
