Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1377
2018-12-08 
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с гипотенузой $AB$, имеющей длину $c$, проведена высота $CH$. $K$ - середина $BC$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $C, H$ и $K$.
Решение:
Первый способ. Треугольник СНВ - прямоугольный, следовательно КС = КВ = КН (см. рис. а). Пусть М - точка пересечения окружности с прямой АС. $\angle MCK$ - прямой, следовательно, МК - диаметр окружности, а так как хорды КС и КН равны, то $MK \perp CH$, а значит, $MK \parallel AB$. Следовательно, МК - средняя линия треугольника АВС; $MK = \frac{1}{2} AB = \frac{c}{2}$. Искомый радиус: $R = \frac{1}{2} MK = \frac{c}{4}$.
Второй способ.
1) Пусть О - центр окружности, описанной около треугольника СКН, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника (см. рис. б). Пусть М - точка пересечения отрезка АС и окружности с центром О и радиусом ОС. $\angle KCM$ - вписан в окружность и равен $90^{ \circ}$, следовательно, КМ - Диаметр окружности, значит $O \in KM$.
2) Треугольник ВСН - прямоугольный; НК - его медиана, проведенная к гипотенузе, следовательно, $HK = \frac{1}{2}BC = CK$. То есть, треугольник СКН - равнобедренный и $(KO) \perp (CH). F = (KO) \cap (CH)$ и $F$ - середина СН, следовательно, KF - средняя линия треугольника ВСН, отсюда $(KF) \parallel (AB)$, значит, КМ - средняя линия треугольника САВ. Тогда, $KM = \frac{1}{2} с$, то есть, $R = \frac{1}{4} с$.
Ответ: $\frac{1}{4} с$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с гипотенузой $AB$, имеющей длину $c$, проведена высота $CH$. $K$ - середина $BC$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $C, H$ и $K$.
Решение:
Первый способ. Треугольник СНВ - прямоугольный, следовательно КС = КВ = КН (см. рис. а). Пусть М - точка пересечения окружности с прямой АС. $\angle MCK$ - прямой, следовательно, МК - диаметр окружности, а так как хорды КС и КН равны, то $MK \perp CH$, а значит, $MK \parallel AB$. Следовательно, МК - средняя линия треугольника АВС; $MK = \frac{1}{2} AB = \frac{c}{2}$. Искомый радиус: $R = \frac{1}{2} MK = \frac{c}{4}$.
Второй способ.
1) Пусть О - центр окружности, описанной около треугольника СКН, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника (см. рис. б). Пусть М - точка пересечения отрезка АС и окружности с центром О и радиусом ОС. $\angle KCM$ - вписан в окружность и равен $90^{ \circ}$, следовательно, КМ - Диаметр окружности, значит $O \in KM$.
2) Треугольник ВСН - прямоугольный; НК - его медиана, проведенная к гипотенузе, следовательно, $HK = \frac{1}{2}BC = CK$. То есть, треугольник СКН - равнобедренный и $(KO) \perp (CH). F = (KO) \cap (CH)$ и $F$ - середина СН, следовательно, KF - средняя линия треугольника ВСН, отсюда $(KF) \parallel (AB)$, значит, КМ - средняя линия треугольника САВ. Тогда, $KM = \frac{1}{2} с$, то есть, $R = \frac{1}{4} с$.
Ответ: $\frac{1}{4} с$.
