Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1376
2018-12-08 
При каких значениях $a$ сумма четвёртых степеней корней уравнения $x^{2} - x + a = 0$ принимает наименьшее значение?
Решение:
Уравнение имеет действительные корни, если $1 - 4a \geq 0$, то есть, $a \leq \frac{1}{4}$. При $a \leq \frac{1}{4} \: x_{1} + x_{2} = 1$ и $x_{1}x_{2} = a$.
$x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2} - 2x_{1}^{2}x_{2}^{2} = ((x_{1} + x_{2} )^{2} - 2x_{1}x_{2} )^{2} - 2(x_{1}x_{2} )^{2} = (1^{2} - 2a )^{2} - 2a^{2} = 1 - 4a + 4a^{2} - 2a^{2} = 2a^{2} - 4a + 1 = 2(a - 1)^{2} - 1$.
Функция $f(a) = 2(a - 1)^{2} - 1$ убывает на промежутке $(- \infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; + \infty)$. Так как $a \leq \frac{1}{4}$, то свое наименьшее значение на промежутке $\left ( \right . - \infty; \frac{1}{5} \left . \right ]$ функция $f(a)$ принимает при $a = \frac{1}{4}$.
Ответ: при $a = \frac{1}{4}$.
При каких значениях $a$ сумма четвёртых степеней корней уравнения $x^{2} - x + a = 0$ принимает наименьшее значение?
Решение:
Уравнение имеет действительные корни, если $1 - 4a \geq 0$, то есть, $a \leq \frac{1}{4}$. При $a \leq \frac{1}{4} \: x_{1} + x_{2} = 1$ и $x_{1}x_{2} = a$.
$x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2} - 2x_{1}^{2}x_{2}^{2} = ((x_{1} + x_{2} )^{2} - 2x_{1}x_{2} )^{2} - 2(x_{1}x_{2} )^{2} = (1^{2} - 2a )^{2} - 2a^{2} = 1 - 4a + 4a^{2} - 2a^{2} = 2a^{2} - 4a + 1 = 2(a - 1)^{2} - 1$.
Функция $f(a) = 2(a - 1)^{2} - 1$ убывает на промежутке $(- \infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; + \infty)$. Так как $a \leq \frac{1}{4}$, то свое наименьшее значение на промежутке $\left ( \right . - \infty; \frac{1}{5} \left . \right ]$ функция $f(a)$ принимает при $a = \frac{1}{4}$.
Ответ: при $a = \frac{1}{4}$.
