Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1374
2018-12-08 
На окружности расположены 1999 белых и одна красная точка. Рассмотрим все выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: тех, у которых есть красная вершина или тех, у которых её нет?
Решение:
Если к многоугольнику, все вершины которого белого цвета, «добавить» красную вершину, то получится многоугольник с красной вершиной. То есть, для всех $n$, таких что $3 < n \leq 2000$ каждому выпуклому $(n - 1)$-угольнику, все вершины которого - белые, соответствует выпуклый $n$-угольник с красной вершиной. Но, кроме того, существуют треугольники, имеющие красную вершину.
Значит, многоугольников с красной вершиной больше, чем многоугольников без красной вершины.
Можно подсчитать, на сколько больше: на столько, сколько существует отрезков с белыми концами, то есть на $\frac{1998 \cdot 1999}{2}$.
Ответ: многоугольников, имеющих красную вершину, больше.
На окружности расположены 1999 белых и одна красная точка. Рассмотрим все выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: тех, у которых есть красная вершина или тех, у которых её нет?
Решение:
Если к многоугольнику, все вершины которого белого цвета, «добавить» красную вершину, то получится многоугольник с красной вершиной. То есть, для всех $n$, таких что $3 < n \leq 2000$ каждому выпуклому $(n - 1)$-угольнику, все вершины которого - белые, соответствует выпуклый $n$-угольник с красной вершиной. Но, кроме того, существуют треугольники, имеющие красную вершину.
Значит, многоугольников с красной вершиной больше, чем многоугольников без красной вершины.
Можно подсчитать, на сколько больше: на столько, сколько существует отрезков с белыми концами, то есть на $\frac{1998 \cdot 1999}{2}$.
Ответ: многоугольников, имеющих красную вершину, больше.
