Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1373
2018-12-08 
В треугольнике $ABC: \angle A > \angle B > \angle C$. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности?
Решение:
Первый способ. Пусть О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС, значит, О является точкой пересечения биссектрис треугольника (см. рис.). 1) Рассмотрим треугольник АОВ. Так как $\frac{1}{2} \angle A > \frac{1}{2} \angle B$, то $\angle OAB > \angle OBA$. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то ОВ > OА. 2) Аналогично, из треугольника АОС получим, что ОС > ОА. 3) Так как ОВ > ОА и ОС > ОА, то ОА - наименьшее из расстояний от центра вписанной окружности до вершин треугольника.
Второй способ. Пусть $\angle BAC = 2 \alpha, \angle ABC = 2 \beta, \angle BCA = 2 \gamma$. Тогда из условия задачи следует, что $90^{ \circ} > \alpha > \beta > \gamma$. Также $OA = \frac{r}{ \sin \alpha}, OB = \frac{r}{ \sin \beta}, OC = \frac{r}{ \sin \gamma}$. Поскольку функция $\sin x$ возрастает от 0 до $90^{ \circ}$, то ОА < ОВ < ОС.
Ответ: к вершине А.
В треугольнике $ABC: \angle A > \angle B > \angle C$. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности?
Решение:
Первый способ. Пусть О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС, значит, О является точкой пересечения биссектрис треугольника (см. рис.). 1) Рассмотрим треугольник АОВ. Так как $\frac{1}{2} \angle A > \frac{1}{2} \angle B$, то $\angle OAB > \angle OBA$. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то ОВ > OА. 2) Аналогично, из треугольника АОС получим, что ОС > ОА. 3) Так как ОВ > ОА и ОС > ОА, то ОА - наименьшее из расстояний от центра вписанной окружности до вершин треугольника.
Второй способ. Пусть $\angle BAC = 2 \alpha, \angle ABC = 2 \beta, \angle BCA = 2 \gamma$. Тогда из условия задачи следует, что $90^{ \circ} > \alpha > \beta > \gamma$. Также $OA = \frac{r}{ \sin \alpha}, OB = \frac{r}{ \sin \beta}, OC = \frac{r}{ \sin \gamma}$. Поскольку функция $\sin x$ возрастает от 0 до $90^{ \circ}$, то ОА < ОВ < ОС.
Ответ: к вершине А.
