Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1371
2018-12-08 
Решите уравнение в целых числах: $1 + m + m^{2} + m^{3} = 3^{n}$.
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители. Имеем: $(1 + m )(1 + m^{2} ) = 3^{n}$. При любых целых $n$ выражение $3^{n}$ принимает положительные значения, следовательно $(1 + m)(1 + m^{2}) > 0$, а, значит, $1 + m > 0 \Leftrightarrow m > - 1$. Если $m = 0$, то получим одно решение: $m = 0; n = 0$. Если же $m > 0$, то левая часть уравнения (значит, и правая) принимает только натуральные значения (причем каждый из сомножителей в левой части больше единицы), значит, $n$ - натуральное число. Тогда, значение каждого множителя из левой части уравнения должно быть натуральной степенью трех. Но одновременно делиться на три оба множителя не могут. Это можно доказать несколькими способами:
Первый способ. Если $1 + m$ делится на 3, то $m = 3k - 1$, где $k \in N$. Тогда, $1 + m^{2} = 9k^{2} - 6k + 2$ не делится на 3.
Второй способ. Так как $1 + m^{2} = (1 + m)^{2} - 2m$, то числа $1 + m^{2}$ и $1 + m$ имеют те же общие делители, что и числа $1 + m$ и $2m$. Учитывая, что $1 + m$ и $m$ - взаимно простые, получим, что общими делителями рассматриваемых натуральных чисел могут являться только числа 2 или 1, в зависимости от четности $m$. Следовательно, других целых решений уравнение не имеет.
Возможно также использование алгоритма Евклида или легко доказываемого факта: $m^{2} \neq 3k - 1$ ни при каких натуральных $m$ и $k$.
Ответ: $m = 0; n = 0$.
Решите уравнение в целых числах: $1 + m + m^{2} + m^{3} = 3^{n}$.
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители. Имеем: $(1 + m )(1 + m^{2} ) = 3^{n}$. При любых целых $n$ выражение $3^{n}$ принимает положительные значения, следовательно $(1 + m)(1 + m^{2}) > 0$, а, значит, $1 + m > 0 \Leftrightarrow m > - 1$. Если $m = 0$, то получим одно решение: $m = 0; n = 0$. Если же $m > 0$, то левая часть уравнения (значит, и правая) принимает только натуральные значения (причем каждый из сомножителей в левой части больше единицы), значит, $n$ - натуральное число. Тогда, значение каждого множителя из левой части уравнения должно быть натуральной степенью трех. Но одновременно делиться на три оба множителя не могут. Это можно доказать несколькими способами:
Первый способ. Если $1 + m$ делится на 3, то $m = 3k - 1$, где $k \in N$. Тогда, $1 + m^{2} = 9k^{2} - 6k + 2$ не делится на 3.
Второй способ. Так как $1 + m^{2} = (1 + m)^{2} - 2m$, то числа $1 + m^{2}$ и $1 + m$ имеют те же общие делители, что и числа $1 + m$ и $2m$. Учитывая, что $1 + m$ и $m$ - взаимно простые, получим, что общими делителями рассматриваемых натуральных чисел могут являться только числа 2 или 1, в зависимости от четности $m$. Следовательно, других целых решений уравнение не имеет.
Возможно также использование алгоритма Евклида или легко доказываемого факта: $m^{2} \neq 3k - 1$ ни при каких натуральных $m$ и $k$.
Ответ: $m = 0; n = 0$.
