Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 137
2014-06-07 
Решить систему
$\begin{cases}
x + xy + y = 2 + 3 \sqrt{2},&\text{}\\
x^{2} + y^{2}=6.&\text{}
\end{cases}
$
Решение:
Умножив первое уравнение на 2 и сложив его со вторым, получаем для любого решения системы
$x^{2}+2xy+y^{2}+2(x+y) = (x+y)^{2} + 2(x+y) = 10 + 6 \sqrt{2}$,
т.е. $(x+y+1)^{2}=(3 + \sqrt{2})^{2}$,а значит, $x+y+l = \pm (3 + \sqrt{2})$. Если $x+y = -4-\sqrt{2}$, то $xy = 6 + 4 \sqrt{2}$ и $(x-y)^{2} = (x+y)2 – 4xy =$
$= (4 + \sqrt{2})^{2} - 4( 6 + 4 \sqrt{2}) = - 6 - 8 \sqrt{2} < 0$, что невозможно. Следовательно, $x + y = 2 + \sqrt{2}, xy=2 \sqrt{2}$, откуда получаем две пары $x_{1} = 2, y_{1} = \sqrt{2}$ и $x_{2} = \sqrt{2}, y_{2} = 2$, каждая из которых (как показывает проверка) удовлетворяет исходной системе.
Решить систему
$\begin{cases}
x + xy + y = 2 + 3 \sqrt{2},&\text{}\\
x^{2} + y^{2}=6.&\text{}
\end{cases}
$
Решение:
Умножив первое уравнение на 2 и сложив его со вторым, получаем для любого решения системы
$x^{2}+2xy+y^{2}+2(x+y) = (x+y)^{2} + 2(x+y) = 10 + 6 \sqrt{2}$,
т.е. $(x+y+1)^{2}=(3 + \sqrt{2})^{2}$,а значит, $x+y+l = \pm (3 + \sqrt{2})$. Если $x+y = -4-\sqrt{2}$, то $xy = 6 + 4 \sqrt{2}$ и $(x-y)^{2} = (x+y)2 – 4xy =$
$= (4 + \sqrt{2})^{2} - 4( 6 + 4 \sqrt{2}) = - 6 - 8 \sqrt{2} < 0$, что невозможно. Следовательно, $x + y = 2 + \sqrt{2}, xy=2 \sqrt{2}$, откуда получаем две пары $x_{1} = 2, y_{1} = \sqrt{2}$ и $x_{2} = \sqrt{2}, y_{2} = 2$, каждая из которых (как показывает проверка) удовлетворяет исходной системе.
