Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1365
2018-12-08 
При каких значениях а один из корней уравнения $(a^{2} + a + 1)x^{2} + (2a - 3)x + a - 5 = 0$ больше 1, а другой - меньше 1?
Решение:
Так как для любого действительного числа $a$ верно неравенство $a^{2} + a + 1 > 0$, то функция $f(x) = (a^{2} + a + 1)x^{2} + (2a - 3)x + a - 5$ является квадратичной. Ее график - парабола, расположенная «ветвями» вверх. Условие задачи равносильно тому, что график имеет две точки пересечения с осью абсцисс, а число 1 лежит на этой оси между точками пересечения (см. рис.). Для этого, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: $f(1) < 0$. Так как $f(1) = a^{2} + 4a - 7$, то, решая неравенство $a^{2} + 4a - 7 < 0$, получим: $-2 - \sqrt{11} < a < - 2 + \sqrt{11}$.
Ответ: при $a \in (-2 - \sqrt{11}; -2 + \sqrt{11})$.
При каких значениях а один из корней уравнения $(a^{2} + a + 1)x^{2} + (2a - 3)x + a - 5 = 0$ больше 1, а другой - меньше 1?
Решение:
Так как для любого действительного числа $a$ верно неравенство $a^{2} + a + 1 > 0$, то функция $f(x) = (a^{2} + a + 1)x^{2} + (2a - 3)x + a - 5$ является квадратичной. Ее график - парабола, расположенная «ветвями» вверх. Условие задачи равносильно тому, что график имеет две точки пересечения с осью абсцисс, а число 1 лежит на этой оси между точками пересечения (см. рис.). Для этого, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: $f(1) < 0$. Так как $f(1) = a^{2} + 4a - 7$, то, решая неравенство $a^{2} + 4a - 7 < 0$, получим: $-2 - \sqrt{11} < a < - 2 + \sqrt{11}$.
Ответ: при $a \in (-2 - \sqrt{11}; -2 + \sqrt{11})$.
