ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
При каждом значении $n \in \mathbf{N}$ решить уравнение $(x+y)^{n} = x^{n}+y^{n}$.


Решение:


Если $n = 1$, то $x$ и $y$ - любые. Далее, для любого $n \in \mathbf{N}$ имеем: если $x = 0$, то уравнение выполняется при любом $y$, если же $y = 0$, то уравнение выполняется при любом $x$. Пары $(x; y)$, для которых $xy \neq 0$ и $x + y = 0$, удовлетворяют уравнению при нечетных значениях $n$ (и только при них). Докажем, что при $n \geq 2$ никакая пара $(x; y)$, для которой
$xy (x + y) \neq 0$,
не удовлетворяет уравнению. Пусть для определенности $|x| \geq |y|$, обозначим $z = y/x \neq -1$,тогда $|z| \in (0; 1]$, а уравнение принимает вид
$(1 + z)^{n} = 1 + z^{n}$.
Если $z > 0$, то
$(1 + z)^{n}=1 + nz + \cdots + z^{n} > 1 + z^{n}$.
Если же $z < 0$, то
$(1 + z)^{n} = (1 - |z|)^{n} < 1 - |z| < 1 - |z|^{n} \leq 1 + z^{n}$.
В обоих случаях
$(1 + z)^{n} \neq 1 + z^{n}$.
Таким образом, имеем следующий ответ;
если $n = 1$, то
$(x; y) \in \mathbf{R}^{3}$,
если $n=2k (k \in \mathbf{N})$, то
$(x;y) \in {(0;t)| t \in \mathbf{R}} \bigcup {(t;0) | t \in \mathbf{R}}$,
если $n = 2k + 1 (k \in \mathbf{N})$, то
$(x;y) \in {(0;t)| t \in \mathbf{R}} \bigcup {(t;0) | t \in \mathbf{R}} \bigcup {(t;-t) | t \in \mathbf{R}}$.