Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1358
2018-12-08 
Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма всех трехзначных замечательных чисел?
Решение:
Заметим, что среди трехзначных чисел замечательными являются те и только те числа, которые оканчиваются на 99. Действительно, пусть трехзначное число $N$ оканчивается на 99. Докажем, что оно замечательное. В любом меньшем числе на каждом месте стоит цифра не большая, чем в числе $N$, причем на каком-то месте стоит меньшая цифра либо первая цифра отсутствует (если число не трехзначное). Поэтому меньшие числа имеют меньшую сумму цифр, то есть число $N$ - замечательное.
Теперь докажем, что других трехзначных замечательных чисел нет. Любое трехзначное число имеет сумму цифр не больше чем $9 \cdot 3 = 27$. Суммы цифр замечательных трехзначных чисел $199, 299, \cdots , 999$, равны соответственно $19, 20, \cdots , 27$. Все меньшие суммы цифр уже встречаются у однозначных или двузначных чисел. Поэтому если трехзначное число не оканчивается на 99, то оно не является замечательным. Осталось подсчитать сумму трехзначных чисел, оканчивающихся на 99: $S = 199 + 299 + \cdots + 999 = (200 + 300 + \cdots + 1000) - 9 = (2 + 3 + \cdots + 10)100 - 9 = 5391$.
Ответ: 5391.
Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма всех трехзначных замечательных чисел?
Решение:
Заметим, что среди трехзначных чисел замечательными являются те и только те числа, которые оканчиваются на 99. Действительно, пусть трехзначное число $N$ оканчивается на 99. Докажем, что оно замечательное. В любом меньшем числе на каждом месте стоит цифра не большая, чем в числе $N$, причем на каком-то месте стоит меньшая цифра либо первая цифра отсутствует (если число не трехзначное). Поэтому меньшие числа имеют меньшую сумму цифр, то есть число $N$ - замечательное.
Теперь докажем, что других трехзначных замечательных чисел нет. Любое трехзначное число имеет сумму цифр не больше чем $9 \cdot 3 = 27$. Суммы цифр замечательных трехзначных чисел $199, 299, \cdots , 999$, равны соответственно $19, 20, \cdots , 27$. Все меньшие суммы цифр уже встречаются у однозначных или двузначных чисел. Поэтому если трехзначное число не оканчивается на 99, то оно не является замечательным. Осталось подсчитать сумму трехзначных чисел, оканчивающихся на 99: $S = 199 + 299 + \cdots + 999 = (200 + 300 + \cdots + 1000) - 9 = (2 + 3 + \cdots + 10)100 - 9 = 5391$.
Ответ: 5391.
