ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
При каждом значении $n \in \mathbf{N}$ решить уравнение
$\sin x \sin 2x \cdots \sin nx + \cos x \cos 2x \cdots \cos nx = 1$.


Решение:


Пусть $n = 1$, тогда
$1 = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos (x - \pi /4)$,
т.е.
$x = 2 \pi m$ или $x=\pi /2 + 2 \pi k (m, k \in \mathbf{Z})$.
Пусть $n = 2$, тогда
$1 = \sin x \sin 2x + \cos x \cos 2x = \cos (2x - x) = \cos x$,
т.е.
$x = 2 \pi m (m \in \mathbf{Z})$.
Пусть, наконец, $n > 2$, тогда
$l = \sin x \sin 2x \cdots + \sin nx + \cos x \cos 2x \cdots \cos nx \leq$
$\leq | \sin x \sin 2x \cdots \sin nx| + |\cos x \cos 2x \cdots \cos nx| \leq$
$\leq |\sin x \sin 2x| + |\cos x \cos 2x| =$
$= max ( |\sin x \sin 2x + \cos x \cos 2x|, |\sin x \sin 2x - \cos x \cos 2x|) =$
$= max (|\cos x|,|\cos 3x|)$,
Поэтому, если некоторое значение х является решением исходного уравнения, то либо $|\cos 3x|=1$, либо $|\cos x| = l$. Однако если $|\cos 3x| = l$, то $\sin 3x = 0$, откуда $\cos x \cdots \cos nx = 1$, и $| \cos x| = 1$. Поэтому достаточно рассмотреть случай $|\cos x| = l$. Проверка показывает, что все значения $x = 2 \pi m (m \in \mathbf{Z})$ удовлетворяют исходному уравнению при любом $n \geq 3$. Если же $x = (2k + 1) \pi (k \in \mathbf{Z})$, то
$\sin rx = 0, \cos rx = (-1)^{r}$ при $r = 1, \cdots , n$.
Поэтому значения $x =(2k + 1) \pi (k \in \mathbf{Z})$ удовлетворяют исходному уравнению лишь в случае
$1 = \sin x \sin 2x \cdots \sin nx + \cos x \cos 2x \cdots \cos nx = (- 1)^{n(n+1)/2}$,
т.е. при четном $n(n+1)/2$. Но число $n(n+ 1)/2$ четно тогда и только тогда, когда одно из чисел $n$ или $n+1$ делится на 4. Итак, окончательный ответ имеет вид:
если $n = 1$, то х=2лт или $n = 4l - 1 (l \in \mathbf{N})$, то $x = \pi /2 + 2 \pi k (m,k \in \mathbf{Z}$),
если $n = 4l - 2$ или $n = 4l + 1 (l \in \mathbf{N})$, то $x = 2 \pi m (m \in \mathbf{Z}$),
если $n = 4l$ или $n = 4l - 1 (l \in \mathbf{N})$, то $x = \pi m (m \in \mathbf{Z}$).