Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1346
2018-12-06 
Отрезки $AB$ и $CD$ лежат на перпендикулярных прямых (см. рисунок). Точки $M, P, N$ и $Q$ - середины отрезков $AC, BD, BC$ и $AD$ соответственно. Найдите $QN$, если $MP = 4 см$.
Решение:
Рассмотрим четырехугольник MNPQ (см. рис.). Из условия задачи следует, что MN - средняя линия треугольника АСВ, поэтому $MN \parallel AB$ и MN = 0,5АВ. Аналогично, так как PQ - средняя линия треугольника ADB, то $PQ \parallel AB$ и PQ = 0,5АВ. Таким образом, $MN \parallel PQ$ и MN = PQ, то есть, MNPQ - параллелограмм. Кроме того, так как MQ - средняя линия треугольника CAD, то $MQ \parallel CD$. Из того, что $AB \perp CD, MN \parallel AB$ и $MQ \parallel CD$, следует, что $MN \perp MQ$, то есть, MNPQ - прямоугольник. По свойству диагоналей прямоугольника: QN = МР = 4.
Ответ: 4 см.
Отрезки $AB$ и $CD$ лежат на перпендикулярных прямых (см. рисунок). Точки $M, P, N$ и $Q$ - середины отрезков $AC, BD, BC$ и $AD$ соответственно. Найдите $QN$, если $MP = 4 см$.
Решение:
Рассмотрим четырехугольник MNPQ (см. рис.). Из условия задачи следует, что MN - средняя линия треугольника АСВ, поэтому $MN \parallel AB$ и MN = 0,5АВ. Аналогично, так как PQ - средняя линия треугольника ADB, то $PQ \parallel AB$ и PQ = 0,5АВ. Таким образом, $MN \parallel PQ$ и MN = PQ, то есть, MNPQ - параллелограмм. Кроме того, так как MQ - средняя линия треугольника CAD, то $MQ \parallel CD$. Из того, что $AB \perp CD, MN \parallel AB$ и $MQ \parallel CD$, следует, что $MN \perp MQ$, то есть, MNPQ - прямоугольник. По свойству диагоналей прямоугольника: QN = МР = 4.
Ответ: 4 см.
