Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1342
2018-12-06 
У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все знакомые. Половина из них - щуки, треть - окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, - караси. Сколько всего знакомых у Золотой рыбки?
Решение:
Первый способ. Выпишем в ряд всех знакомых Золотой рыбки и учитывая, что все знакомые с номерами, делящимися на 4, - караси разделим их на части (К - карась, Р - другая рыба):
РРРКРР|РКРРР|КРРР|КРРР|КРРР| $\cdots$
(все части, начиная с третьей, - одинаковые, но в последней части может быть и менее четырех знакомых). Тогда в первой части караси составляют $\frac{1}{6}$ от общего количества, во второй части - $\frac{1}{5}$, а в остальных - $\frac{1}{4}$ (в последней части может быть и больше, чем $\frac{1}{4}$). Из условия следует, что караси не могут составлять больше, чем $\frac{1}{6}$ от общего количества, поэтому, выписанный ряд должен ограничиться первой частью.
Второй способ. Из условия следует, что количество знакомых Золотой рыбки является числом вида $6n$, где $n$ - натуральное; из них $3n$ щук и $2n$ окуней, поэтому карасей - не больше, чем $n$. Пусть $k$ - количество карасей, тогда $6n = 4k + r$, где $0 \leq k \leq 4$. Заметим, что $r \neq 0$, так как в противном случае караси составляли бы четвертую насть от всех знакомых, что невозможно, поскольку $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1$. Кроме того, так как $6n$ - четное число, то $r \neq 1$ и $r \neq 3$. Следовательно, $r = 2$, то есть, $6n = 4k + 2 \Leftrightarrow 3n = 2k + 1 \Leftrightarrow n = \frac{2k + 1}{3}$. Так как $n \geq k$, то $k \leq 1$. $k \leq 1$. При $k = 0$ число $n$ не является целым, поэтому $k = 1$, тогда $n = 1$, то есть, $6n = 6$.
Третий способ. Заметим, что количество знакомых Золотой рыбки не может быть кратно четырем, так как $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1$. Вместе с тем, оно должно быть чётным (так половина ее знакомых - щуки). Поэтому, количество ее знакомых должно быть числом вида $4k + 2$, где $k$ - натуральное число ($k \neq 0$, так как в этом случае общее количество знакомых равно двум, то есть, не кратно трем). Тогда количество щук равно $2k + 1$, количество окуней - $\frac{4k + 2}{3}$, а количество карасей - $k$. Общее количество щук, карасей и окуней не превосходит общего количества знакомых, следовательно, $2k + 1 + \frac{4k + 2}{3} + k \leq 4k + 2 \Leftrightarrow \frac{4k + 2}{3} \leq k + 1 \Leftrightarrow 4k + 2 \leq 3k + 3 \Leftrightarrow k \leq 1$. Так как $k$ - натуральное число, то $k = 1$, то есть, общее количество знакомых равно $4 \cdot 1 + 2 = 6$.
Ответ: 6 знакомых.
У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все знакомые. Половина из них - щуки, треть - окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, - караси. Сколько всего знакомых у Золотой рыбки?
Решение:
Первый способ. Выпишем в ряд всех знакомых Золотой рыбки и учитывая, что все знакомые с номерами, делящимися на 4, - караси разделим их на части (К - карась, Р - другая рыба):
РРРКРР|РКРРР|КРРР|КРРР|КРРР| $\cdots$
(все части, начиная с третьей, - одинаковые, но в последней части может быть и менее четырех знакомых). Тогда в первой части караси составляют $\frac{1}{6}$ от общего количества, во второй части - $\frac{1}{5}$, а в остальных - $\frac{1}{4}$ (в последней части может быть и больше, чем $\frac{1}{4}$). Из условия следует, что караси не могут составлять больше, чем $\frac{1}{6}$ от общего количества, поэтому, выписанный ряд должен ограничиться первой частью.
Второй способ. Из условия следует, что количество знакомых Золотой рыбки является числом вида $6n$, где $n$ - натуральное; из них $3n$ щук и $2n$ окуней, поэтому карасей - не больше, чем $n$. Пусть $k$ - количество карасей, тогда $6n = 4k + r$, где $0 \leq k \leq 4$. Заметим, что $r \neq 0$, так как в противном случае караси составляли бы четвертую насть от всех знакомых, что невозможно, поскольку $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1$. Кроме того, так как $6n$ - четное число, то $r \neq 1$ и $r \neq 3$. Следовательно, $r = 2$, то есть, $6n = 4k + 2 \Leftrightarrow 3n = 2k + 1 \Leftrightarrow n = \frac{2k + 1}{3}$. Так как $n \geq k$, то $k \leq 1$. $k \leq 1$. При $k = 0$ число $n$ не является целым, поэтому $k = 1$, тогда $n = 1$, то есть, $6n = 6$.
Третий способ. Заметим, что количество знакомых Золотой рыбки не может быть кратно четырем, так как $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1$. Вместе с тем, оно должно быть чётным (так половина ее знакомых - щуки). Поэтому, количество ее знакомых должно быть числом вида $4k + 2$, где $k$ - натуральное число ($k \neq 0$, так как в этом случае общее количество знакомых равно двум, то есть, не кратно трем). Тогда количество щук равно $2k + 1$, количество окуней - $\frac{4k + 2}{3}$, а количество карасей - $k$. Общее количество щук, карасей и окуней не превосходит общего количества знакомых, следовательно, $2k + 1 + \frac{4k + 2}{3} + k \leq 4k + 2 \Leftrightarrow \frac{4k + 2}{3} \leq k + 1 \Leftrightarrow 4k + 2 \leq 3k + 3 \Leftrightarrow k \leq 1$. Так как $k$ - натуральное число, то $k = 1$, то есть, общее количество знакомых равно $4 \cdot 1 + 2 = 6$.
Ответ: 6 знакомых.
