Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1341
2018-12-06 
В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ - середина стороны $BC$, точка $N$ - середина стороны $CD$, $P$ - точка пересечения отрезков $DM$ и $BN$. Докажите, что $\angle MAN = \angle BPM$.
Решение:
Первый способ. Пусть K - середина стороны АВ (см. рис.). Тогда, так как $BK \parallel ND$ и ВК = ND, то KBND - параллелограмм. Следовательно, $KD \parallel BN$, то есть, $\angle BPM = \angle KDM$. Соединим точку М с точками N и К. Так как $\Delta KDM = \Delta NAM$ (по трем сторонам), то $\angle KDM = \angle MAN$. Следовательно, $\angle BPM = \angle MAN$, что и требовалось доказать.
Второй способ. Так как AM = MD и $BC \parallel AD$, то $\angle MAD = \angle MDA = \angle DMC$ (см. рис.). Кроме того, из равенства прямоугольных треугольников $BCN$ и $ADN$ следует, что $\angle NBM = \angle NAD$. По теореме о внешнем угле для $\Delta BMP: \angle BPM = \angle DMC - \angle NBM = \angle MAD - \angle NAD = \angle MAN$, что и требовалось доказать.
В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ - середина стороны $BC$, точка $N$ - середина стороны $CD$, $P$ - точка пересечения отрезков $DM$ и $BN$. Докажите, что $\angle MAN = \angle BPM$.
Решение:
Первый способ. Пусть K - середина стороны АВ (см. рис.). Тогда, так как $BK \parallel ND$ и ВК = ND, то KBND - параллелограмм. Следовательно, $KD \parallel BN$, то есть, $\angle BPM = \angle KDM$. Соединим точку М с точками N и К. Так как $\Delta KDM = \Delta NAM$ (по трем сторонам), то $\angle KDM = \angle MAN$. Следовательно, $\angle BPM = \angle MAN$, что и требовалось доказать.
Второй способ. Так как AM = MD и $BC \parallel AD$, то $\angle MAD = \angle MDA = \angle DMC$ (см. рис.). Кроме того, из равенства прямоугольных треугольников $BCN$ и $ADN$ следует, что $\angle NBM = \angle NAD$. По теореме о внешнем угле для $\Delta BMP: \angle BPM = \angle DMC - \angle NBM = \angle MAD - \angle NAD = \angle MAN$, что и требовалось доказать.
