Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1340
2018-12-06 
Решите уравнение:
$2x^{2} + 5y^{2} - 4xy - 2y - 4x + 5 = 0$.
Решение:
Преобразуем данное уравнение: $(x^{2} - 4xy + 4y^{2}) + (x^{2} -4x + 4) + + (y^{2} - 2y + 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 2y)^{2} + (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 0$. Так как каждое слагаемое в левой части принимает только неотрицательные значения, то полученное равенство выполняется тогда, и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: $(y - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow y = 1; (x - 2)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2; (x - 2y)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2y$. При $x = 2, y = 1$ последнее равенство верно.
Ответ: $x = 2; y = 1$.
Решите уравнение:
$2x^{2} + 5y^{2} - 4xy - 2y - 4x + 5 = 0$.
Решение:
Преобразуем данное уравнение: $(x^{2} - 4xy + 4y^{2}) + (x^{2} -4x + 4) + + (y^{2} - 2y + 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 2y)^{2} + (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 0$. Так как каждое слагаемое в левой части принимает только неотрицательные значения, то полученное равенство выполняется тогда, и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: $(y - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow y = 1; (x - 2)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2; (x - 2y)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2y$. При $x = 2, y = 1$ последнее равенство верно.
Ответ: $x = 2; y = 1$.
