ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Решить уравнение
$(\sin(x-y)+1)(2 \cos (2x-y)+1)=6$.


Решение:


В силу оценок $- 1 \leq \sin \alpha \leq 1, - 1 \leq \cos \alpha \leq 1$ имеем неравенство
$(\sin (x-y) +1)(2 \cos (2x-y) + 1) \leq 6$
в котором равенство возможно лишь в случае, когда
$\sin (x-y) = 1$ и $\cos (2x-y) = 1$.
Поэтому уравнение равносильно системе
$
\begin{cases}
\sin (x-y) = 1,&\text{}\\
\cos (2x - y)=1,.&\text{}
\end{cases}
$
т.е. системе
$
\begin{cases}
x - y = \frac{\pi}{2} + 2 \pi m (m \in \mathbf{Z}) ,&\text{}\\
2x – y = 2 \pi n (n \in \mathbf{Z}).&\text{}
\end{cases}
$
Таким образом, имеем
$x = - \frac{\pi}{2} + 2 (n-m) \pi = 2 \pi k - \frac{\pi}{2} (k \in \mathbf{Z})$
$y = (2 (n- 2m) - 1) \pi = (2 (k-m) -1) \pi = (2l + 1 ) \pi (l \in \mathbf{Z})$,