Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1338
2018-12-06 
В трапеции $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. На большем основании $AD$ выбрана точка $M$ так, что $BM = MD = 3 см$. Найдите длину средней линии трапеции.
Решение:
Первый способ. Проведем прямую через вершину В, параллельную АС, которая пересечет прямую АТ) в точке К (см. рис. а). Тогда $\Delta KBD$ - прямоугольный, М лежит на его гипотенузе KD и равноудалена от вершин В и D, следовательно М - середина KD. Так как BCAK - параллелограмм, то ВС = АК. Следовательно, длина средней линии составляет половину длины KD, то есть, равна 3 см.
Второй способ. Пусть О - точка пересечения диагоналей трапеции; Р - точка пересечения ВМ и АС (см. рис. б). По условию, $\Delta BMD$ - равнобедренный, значит, $\angle MBD = \angle MDB = \alpha$. Так как $\angle CBD = \angle MDB = \alpha$ и $BO \perp PC$, то $BO$ - высота и биссектриса треугольника РВС, поэтому, этот треугольник - также равнобедренный, то есть, ВР = ВС. Так как $\angle APM = \angle BPO = 90^{ \circ} - \alpha = \angle OAD$, то равнобедренным является и треугольник $AMP: AM = PM$. Таким образом, средняя линия трапеции равна: $\frac{AD + BC}{2} = \frac{AM + MD +BP}{2} = \frac{BM + MD}{2} = 3 см$
Ответ: 3 см.
В трапеции $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. На большем основании $AD$ выбрана точка $M$ так, что $BM = MD = 3 см$. Найдите длину средней линии трапеции.
Решение:
Первый способ. Проведем прямую через вершину В, параллельную АС, которая пересечет прямую АТ) в точке К (см. рис. а). Тогда $\Delta KBD$ - прямоугольный, М лежит на его гипотенузе KD и равноудалена от вершин В и D, следовательно М - середина KD. Так как BCAK - параллелограмм, то ВС = АК. Следовательно, длина средней линии составляет половину длины KD, то есть, равна 3 см.
Второй способ. Пусть О - точка пересечения диагоналей трапеции; Р - точка пересечения ВМ и АС (см. рис. б). По условию, $\Delta BMD$ - равнобедренный, значит, $\angle MBD = \angle MDB = \alpha$. Так как $\angle CBD = \angle MDB = \alpha$ и $BO \perp PC$, то $BO$ - высота и биссектриса треугольника РВС, поэтому, этот треугольник - также равнобедренный, то есть, ВР = ВС. Так как $\angle APM = \angle BPO = 90^{ \circ} - \alpha = \angle OAD$, то равнобедренным является и треугольник $AMP: AM = PM$. Таким образом, средняя линия трапеции равна: $\frac{AD + BC}{2} = \frac{AM + MD +BP}{2} = \frac{BM + MD}{2} = 3 см$
Ответ: 3 см.
