Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1337
2018-12-06 
Числа $a, b, c$ и $d$ таковы, что $a + b = c + d$ и $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$. Верно ли, что $a^{3} + b^{3} = c^{3} + d^{3}$?
Решение:
Если $a + b = c + d$, то $(a + b)^{2} = (c + d)^{2} \Leftrightarrow a^{2} + 2ab + b^{2} = c^{2} + 2cd + d^{2}$, откуда, учитывал что $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$, получим, что $ab = cd$.
Далее возможны различные способы, например:
1) $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = (c + d)(c^{2} - cd + d^{2}) = c^{3} + d^{3}$.
2) Так как $a + b = c + d \Leftrightarrow (a + b)^{3} = (c + d)^{3} \Leftrightarrow a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b) = c^{3} + d^{3} + 3cd(c + d)$, то $a^{3} + b^{3} = c^{3} + d^{3}$.
Ответ: верно.
Числа $a, b, c$ и $d$ таковы, что $a + b = c + d$ и $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$. Верно ли, что $a^{3} + b^{3} = c^{3} + d^{3}$?
Решение:
Если $a + b = c + d$, то $(a + b)^{2} = (c + d)^{2} \Leftrightarrow a^{2} + 2ab + b^{2} = c^{2} + 2cd + d^{2}$, откуда, учитывал что $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$, получим, что $ab = cd$.
Далее возможны различные способы, например:
1) $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = (c + d)(c^{2} - cd + d^{2}) = c^{3} + d^{3}$.
2) Так как $a + b = c + d \Leftrightarrow (a + b)^{3} = (c + d)^{3} \Leftrightarrow a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b) = c^{3} + d^{3} + 3cd(c + d)$, то $a^{3} + b^{3} = c^{3} + d^{3}$.
Ответ: верно.
