Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1335
2018-12-06 
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $B$, противолежащий основанию, равен $20^{ \circ}$. На стороне $AB$ отмечена точка $D$ так, что $BD = AC$. Найдите угол $ACD$.
Решение:
Пусть $ABC$ - данный треугольник. Вычислим углы при основании: $\angle A = \angle B = (180^{ \circ} - 20^{ \circ} ) : 2 = 80^{ \circ}$. Дальнейшие рассуждения требуют дополнительных построений, которые могут различаться, но так или иначе используют равенство: $80^{ \circ} - 20^{ \circ} = 60^{ \circ}$.
Первый способ. Построим равносторонний $\Delta AMC$ (см. рис. а), тогда $\Delta ABM = \Delta CBM$ (по III признаку), следовательно, $\angle ABM = 10^{ \circ}$. Так как $\angle BAM = 20^{ \circ} = \angle DBC$, то $\Delta DBC = \Delta MAB$ (по I признаку), значит, $\angle BCD = \angle ABM = 10^{ \circ}$. Следовательно, $\angle ACD = 80^{ \circ} - 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Второй способ. Построим последовательно точки $E, F$ и $D^{ \circ}$ так, что $AC = CE = EF = FD^{ \prime}$ (см. рис. б). Последовательно вычисляем углы: $\angle AEC = 80^{ \circ}; \angle ACE = 20^{ \circ}; \angle ECB = 60^{ \circ}; \angle CEF = \angle CFE = 60^{ \circ}; \angle D^{ \prime} EF = 40^{ \circ}; \angle ED^{ \prime}F = 40^{ \circ}; \angle D^{ \prime}FB = 40^{ \circ} - 20^{ \circ} = 20^{ \circ}$, следовательно, $BD^{ \prime} = D^{ \prime}F = AC$, то есть, точка $D^{ \prime}$ совпадает с данной точкой $D$. Так как $\Delta DFC$ - равнобедренный, то $\angle DCF = 20^{ \circ} : 2 = 10^{ \circ}$, тогда $\angle ACD = 80^{ \circ} - 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Третий способ. Достроим $\Delta ABC$ до параллелограмма $ABFC$ и построим равносторонний треугольник $BMF$ (см. рис. в). Тогда, из равенства треугольников $DBC$ и $MBC$ (по I признаку), следует, что $\angle DCB = \angle MCB = \angle MCF = 10^{ \circ}$, следовательно, $\angle ACD = 80^{ \circ} - 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Четвертый способ. Построим перпендикуляры к $AC$ в точках $A$ и $C$ и отложим $\angle ABF = \angle CBE = 20^{ \circ}$ (см. рис. г). Тогда, $\angle EBF = 60^{ \circ}$ и $\Delta ABF = \Delta CBE$ (по II признаку), значит, $\Delta FBE$ - равносторонний. $\Delta BCD = \Delta BCE$ (по I признаку), $\angle BCD = 90^{ \circ} - 80^{ \circ} = 10^{ \circ}$, следовательно, $\angle ACD = 80^{ \circ} - 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Пятый способ. Вне треугольника $ABC$ построим равносторонний треугольник $ACK$ и проведем $DM \parallel AK$ (см. рис. д). Тогда, $\angle ADM = 180^{ \circ} - 80^{ \circ} - 60^{ \circ} = 40^{ \circ}; \angle BMD = 40^{ \circ} - 20^{ \circ} = 20^{ \circ}$. Следовательно, $DM = DB = AC = AK$, то есть, $ADMK$ - параллелограмм. Значит, $\angle DMK = 180^{ \circ} (40^{ \circ} = 140^{ \circ} \angle CMK = 20^{ \circ} = \angle CKM; MC = KC = AC = DM$. Тогда, $\angle DCM = 20^{ \circ} : 2 = 10^{ \circ}$, следовательно, $\angle ACD = 80^{ \circ} - 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Шестой способ. Построим равносторонний треугольник $AMC$, соединим точки $M$ и $D$, а на стороне $BC$ выберем точку $K$ так, чтобы $KD = BD$ (см. рис. е). Тогда, $CMDK$ - параллелограмм, поэтому, $\angle ADM = \angle ABC, \angle DAM = 80^{ \circ} - 60^{ \circ} = 20^{ \circ}$; значит, $AM = MD$. Таким образом, $MDKC$ - ромб; $\angle DCK = 0,5 \angle MCD = 10^{ \circ}$; следовательно, $\angle ACD = 60^{ \circ} + 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Ответ: $\angle ACD = 70^{ \circ}$.
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $B$, противолежащий основанию, равен $20^{ \circ}$. На стороне $AB$ отмечена точка $D$ так, что $BD = AC$. Найдите угол $ACD$.
Решение:
Пусть $ABC$ - данный треугольник. Вычислим углы при основании: $\angle A = \angle B = (180^{ \circ} - 20^{ \circ} ) : 2 = 80^{ \circ}$. Дальнейшие рассуждения требуют дополнительных построений, которые могут различаться, но так или иначе используют равенство: $80^{ \circ} - 20^{ \circ} = 60^{ \circ}$.
Первый способ. Построим равносторонний $\Delta AMC$ (см. рис. а), тогда $\Delta ABM = \Delta CBM$ (по III признаку), следовательно, $\angle ABM = 10^{ \circ}$. Так как $\angle BAM = 20^{ \circ} = \angle DBC$, то $\Delta DBC = \Delta MAB$ (по I признаку), значит, $\angle BCD = \angle ABM = 10^{ \circ}$. Следовательно, $\angle ACD = 80^{ \circ} - 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Второй способ. Построим последовательно точки $E, F$ и $D^{ \circ}$ так, что $AC = CE = EF = FD^{ \prime}$ (см. рис. б). Последовательно вычисляем углы: $\angle AEC = 80^{ \circ}; \angle ACE = 20^{ \circ}; \angle ECB = 60^{ \circ}; \angle CEF = \angle CFE = 60^{ \circ}; \angle D^{ \prime} EF = 40^{ \circ}; \angle ED^{ \prime}F = 40^{ \circ}; \angle D^{ \prime}FB = 40^{ \circ} - 20^{ \circ} = 20^{ \circ}$, следовательно, $BD^{ \prime} = D^{ \prime}F = AC$, то есть, точка $D^{ \prime}$ совпадает с данной точкой $D$. Так как $\Delta DFC$ - равнобедренный, то $\angle DCF = 20^{ \circ} : 2 = 10^{ \circ}$, тогда $\angle ACD = 80^{ \circ} - 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Третий способ. Достроим $\Delta ABC$ до параллелограмма $ABFC$ и построим равносторонний треугольник $BMF$ (см. рис. в). Тогда, из равенства треугольников $DBC$ и $MBC$ (по I признаку), следует, что $\angle DCB = \angle MCB = \angle MCF = 10^{ \circ}$, следовательно, $\angle ACD = 80^{ \circ} - 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Четвертый способ. Построим перпендикуляры к $AC$ в точках $A$ и $C$ и отложим $\angle ABF = \angle CBE = 20^{ \circ}$ (см. рис. г). Тогда, $\angle EBF = 60^{ \circ}$ и $\Delta ABF = \Delta CBE$ (по II признаку), значит, $\Delta FBE$ - равносторонний. $\Delta BCD = \Delta BCE$ (по I признаку), $\angle BCD = 90^{ \circ} - 80^{ \circ} = 10^{ \circ}$, следовательно, $\angle ACD = 80^{ \circ} - 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Пятый способ. Вне треугольника $ABC$ построим равносторонний треугольник $ACK$ и проведем $DM \parallel AK$ (см. рис. д). Тогда, $\angle ADM = 180^{ \circ} - 80^{ \circ} - 60^{ \circ} = 40^{ \circ}; \angle BMD = 40^{ \circ} - 20^{ \circ} = 20^{ \circ}$. Следовательно, $DM = DB = AC = AK$, то есть, $ADMK$ - параллелограмм. Значит, $\angle DMK = 180^{ \circ} (40^{ \circ} = 140^{ \circ} \angle CMK = 20^{ \circ} = \angle CKM; MC = KC = AC = DM$. Тогда, $\angle DCM = 20^{ \circ} : 2 = 10^{ \circ}$, следовательно, $\angle ACD = 80^{ \circ} - 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Шестой способ. Построим равносторонний треугольник $AMC$, соединим точки $M$ и $D$, а на стороне $BC$ выберем точку $K$ так, чтобы $KD = BD$ (см. рис. е). Тогда, $CMDK$ - параллелограмм, поэтому, $\angle ADM = \angle ABC, \angle DAM = 80^{ \circ} - 60^{ \circ} = 20^{ \circ}$; значит, $AM = MD$. Таким образом, $MDKC$ - ромб; $\angle DCK = 0,5 \angle MCD = 10^{ \circ}$; следовательно, $\angle ACD = 60^{ \circ} + 10^{ \circ} = 70^{ \circ}$.
Ответ: $\angle ACD = 70^{ \circ}$.
