Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1334
2018-12-06 
Известно, что числа $2n + 1$ и $3n + 1$, где $n$ - натуральное число, являются точными квадратами. Может ли число $5n + 3$ быть простым?
Решение:
Так как число $2n + 1$ является точным квадратом, то точным квадратом является и число $8n + 4 = 4(2n +1)$. Пусть $8n + 4 = m^{2}; 3n +1 = k^{2}$, где $m$ и $k$ - натуральные числа, тогда $5n + 3 = (8n + 4) - (3n + 1) = m^{2} - k^{2} = (m + k)(m - k)$. Предположим, что $m - k = 1$, то есть, $m = k + 1$. Тогда, используя неравенство $k^{2} + 1 \geq 2k$;, получим: $5n + 3 = 2k + 1 \leq k^{2} + 2 = 3n + 3$, что невозможно ни при каких натуральных $n$. Таким образом, $m - k \neq 1$, то есть, при число $5n + 3$ - составное.
Ответ: нет, не может.
Известно, что числа $2n + 1$ и $3n + 1$, где $n$ - натуральное число, являются точными квадратами. Может ли число $5n + 3$ быть простым?
Решение:
Так как число $2n + 1$ является точным квадратом, то точным квадратом является и число $8n + 4 = 4(2n +1)$. Пусть $8n + 4 = m^{2}; 3n +1 = k^{2}$, где $m$ и $k$ - натуральные числа, тогда $5n + 3 = (8n + 4) - (3n + 1) = m^{2} - k^{2} = (m + k)(m - k)$. Предположим, что $m - k = 1$, то есть, $m = k + 1$. Тогда, используя неравенство $k^{2} + 1 \geq 2k$;, получим: $5n + 3 = 2k + 1 \leq k^{2} + 2 = 3n + 3$, что невозможно ни при каких натуральных $n$. Таким образом, $m - k \neq 1$, то есть, при число $5n + 3$ - составное.
Ответ: нет, не может.
