Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1333
2018-12-06 
$A$ и $B$ - фиксированные точки на плоскости. Укажите геометрическое место точек $M$ этой плоскости, для которых $A, B$ и $M$ являются вершинами равнобедренного треугольника.
Решение:
Искомые точки М могут являться как вершинами, противолежащими основанию равнобедренного треугольника, так и концами основания.
1) Точка М является вершиной равнобедренного треугольника АВМ с основанием АВ тогда и только тогда, когда она равноудалена от точек А и В, но не лежит на отрезке АВ. Следовательно, М принадлежит серединному перпендикуляру $a$ к отрезку АВ, но не совпадает с точкой С - серединой этого отрезка.
2) Точка М является вершиной равнобедренного треугольника АВМ с основанием ВЫ тогда и только тогда, когда она удалена от точки А на расстояние АВ, но не лежит на прямой АВ. Следовательно, М принадлежит окружности с центром в точке А и радиусом АВ, но не совпадает с точками $B$ или $B_{1}$, где $B_{1}$ - точка, симметричная точке В относительно А.
Аналогично, точка М является вершиной равнобедренного треугольника АВМ с основанием AM тогда и только тогда, когда она принадлежит окружности с центром в точке В и радиусом АВ, но не совпадает с точками А или $A_{1}$, где $A_{1}$ - точка, симметричная точке А относительно В. Таким образом, искомое геометрическое место точек является объединением полученных фигур.
Ответ: объединение двух окружностей с центрами в точках А и В и радиусами, равными АВ, и серединного перпендикуляра а к отрезку АВ с «выколотыми» точками $A, B, C, A_{1}$ и $B_{1}$ (см. рис.).
$A$ и $B$ - фиксированные точки на плоскости. Укажите геометрическое место точек $M$ этой плоскости, для которых $A, B$ и $M$ являются вершинами равнобедренного треугольника.
Решение:
Искомые точки М могут являться как вершинами, противолежащими основанию равнобедренного треугольника, так и концами основания.
1) Точка М является вершиной равнобедренного треугольника АВМ с основанием АВ тогда и только тогда, когда она равноудалена от точек А и В, но не лежит на отрезке АВ. Следовательно, М принадлежит серединному перпендикуляру $a$ к отрезку АВ, но не совпадает с точкой С - серединой этого отрезка.
2) Точка М является вершиной равнобедренного треугольника АВМ с основанием ВЫ тогда и только тогда, когда она удалена от точки А на расстояние АВ, но не лежит на прямой АВ. Следовательно, М принадлежит окружности с центром в точке А и радиусом АВ, но не совпадает с точками $B$ или $B_{1}$, где $B_{1}$ - точка, симметричная точке В относительно А.
Аналогично, точка М является вершиной равнобедренного треугольника АВМ с основанием AM тогда и только тогда, когда она принадлежит окружности с центром в точке В и радиусом АВ, но не совпадает с точками А или $A_{1}$, где $A_{1}$ - точка, симметричная точке А относительно В. Таким образом, искомое геометрическое место точек является объединением полученных фигур.
Ответ: объединение двух окружностей с центрами в точках А и В и радиусами, равными АВ, и серединного перпендикуляра а к отрезку АВ с «выколотыми» точками $A, B, C, A_{1}$ и $B_{1}$ (см. рис.).
