Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13322
2023-08-14 
Покажите, что число $log_{e} 2$ иррационально,
Решение:
Предположим, что $log_{e}2$ рационально. Очевидно, $log_{e} 2 \neq 0$; следовательно, $log_{e} 2 = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ - целые числа, $p > 0$, а $q \neq 0$. Поэтому $e^{ \frac{p}{q}} = 2$, или $e^{p} = 2^{q}$. Это означает, что $e$ удовлетворяет уравнению $x^{p} - 2^{q} = 0$, что невозможно, поскольку число $e$ трансцендентно (то есть не является корнем ни одного многочлена с рациональными коэффициентами).
Покажите, что число $log_{e} 2$ иррационально,
Решение:
Предположим, что $log_{e}2$ рационально. Очевидно, $log_{e} 2 \neq 0$; следовательно, $log_{e} 2 = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ - целые числа, $p > 0$, а $q \neq 0$. Поэтому $e^{ \frac{p}{q}} = 2$, или $e^{p} = 2^{q}$. Это означает, что $e$ удовлетворяет уравнению $x^{p} - 2^{q} = 0$, что невозможно, поскольку число $e$ трансцендентно (то есть не является корнем ни одного многочлена с рациональными коэффициентами).
